УСЛОВИЯ ПРИМЕНЕНИЯ СРЕДНИХ ВЕЛИЧИН В АНАЛИЗЕ

УСЛОВИЯ ПРИМЕНЕНИЯ СРЕДНИХ ВЕЛИЧИН В АНАЛИЗЕ. Как уже говорилось выше обязательным условием расчета средних величин для исследуемой совокупности является ее однородность. Действительно, допустим, что отдельные элементы совокупности, вследствие подверженности влиянию некоторого случайного фактора, имеют слишком большие (или слишком малые) величины изучаемого признака, существенно отличающиеся от остальных.

Такие элементы повлияют на размер средней для данной совокупности, поэтому средняя не будет выражать наиболее характерную для совокупности величину признака. Если исследуемое явление не является однородным, то его разбивают на группы, содержащие только однородные элементы. Для такого явления рассчитываются сначала средние по группам, которые называются групповые средние, – они будут выражать наиболее типичную величину явления в каждой группе.

Затем рассчитывается для всех элементов общая средняя величина, характеризующая явление в целом, – она рассчитывается как средняя из групповых средних, взвешенных по числу элементов совокупности, включенных в каждую группу. На практике, однако, безусловное выполнение данного условия повлекло бы за собой ограничение возможностей статистического анализа общественных процессов. Поэтому, часто средние величины рассчитываются по неоднородным явлениям. Например, при расчете величины средней заработной платы по Тюменской области, когда совместно анализируется заработная плата труда в автономных округах и в южных районах Тюменской области, а затем полученный средний уровень заработной платы труда сопоставляется с соседними сибирскими регионами.

Еще одним важным условием применения средних величин в анализе является достаточное количество единиц в совокупности, по которой рассчитывается среднее значение признака. Достаточность анализируемых единиц обеспечивается корректным определением границ исследуемой совокупности, т.е. закладывается еще на начальном этапе статистического исследования.

Данное условие становится решающим при применении выборочного наблюдения, когда необходимо обеспечить репрезентативность выборки. Определение максимального и минимального значения признака в изучаемой совокупности также является условием применения средней величины в анализе. В случае больших отклонений между крайними значениями и средней, необходимо проверить принадлежность экстремумов к исследуемой совокупности.

Если сильная изменчивость признака вызвана случайными, кратковременными факторами, то, возможно, крайние значения не характерны для совокупности. Следовательно, их следует исключить из анализа, т.к. они оказывают влияние на размер средней величины. Виды средних величин. В статистике выделяют несколько видов средних величин: 1. По наличию признака-веса: а) невзвешенная средняя величина; б) взвешенная средняя величина. 2. По форме расчета: а) средняя арифметическая величина; б) средняя гармоническая величина; в) средняя геометрическая величина; г) средняя квадратическая, кубическая и т.д. величины. 3. По охвату совокупности: а) групповая средняя величина; б) общая средняя величина.

Средние величины различаются в зависимости от учета признаков, влияющих на осредняемую величину: Если средняя величина рассчитывается для признака, без учета влияния на него каких-либо других признаков, то такая средняя величина называется средней невзвешенной или простой средней.

Если имеются сведения о влиянии на осредняемый признак некоторого признака или нескольких признаков, которые необходимо учесть при расчете для корректного расчета средней величины, то рассчитывается средняя взвешенная. По форме расчета выделяют несколько видов средних величин, которые образованы из единой степенной средней величины. Степенная средняя величина имеет форму: , где - среднее значение исследуемого явления; k – показатель степени средней; x – текущее значение (вариант) осредняемого признака; i –i-тый элемент совокупности; n – число наблюдений (число единиц совокупности). При разных показателях степени k получаем, соответственно, различные по форме средние величины. (Табл. 1): Таблица 1 Степень средней величины (k) Название средней -1 гармоническая 0 геометрическая 1 арифметическая 2 квадратическая 3 кубическая Выбор формы средней обусловлен исходным соотношением, суть которого приводилась выше. Существует порядок расчета средней величины: 1. Определение исходного соотношения для исследуемого показателя. 2. Определение недостающих данных для расчета исходного соотношения. 3. Расчет средней величины.

Рассмотрим некоторые виды средних, которые наиболее часто используются в статистике. Для этого введем следующие понятия и обозначения: Признак, по которому находится средняя, называемый осередняемым признаком, обозначим буквой "х" Значения признака, которые встречаются у группы единиц или отдельных единиц совокупности (не повторяясь) называются вариантами признака и обозначаются через x1, x2, x3 и т.д. Средняя величина этих значений обозначается через " " . Средняя арифметическая Средняя арифметическая простая (невзвешенная) равна сумме отдельных значений признака, деленной на число этих значений.

Отдельные значения признака называют вариантами и обозначают через х ( ); число единиц совокупности обозначают через n, среднее значение признака - через. Следовательно, средняя арифметическая простая равна: Например, имеются следующие данные о производстве рабочими продукции А за смену: № раб. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Выпущено изделий за смену 16 17 18 17 16 17 18 20 21 18 В данном примере варьирующий признак - выпуск продукции за смену.

Численные значения признака (16, 17 и т. д.) называют вариантами.

Определим среднюю выработку продукции рабочими данной группы: Простая средняя арифметическая применяется в случаях, когда имеются отдельные значения признака, т.е. данные не сгруппированы.

Если данные представлены в виде рядов распределения или группировок, то средняя исчисляется иначе. Средняя арифметическая взвешенная вычисляется по формуле, где fi - частота повторения i-ых вариантов признака, называемая весом. Таким образом, средняя арифметическая взвешенная равна сумме взвешенных вариантов признака, деленная на сумму весов. Она применяется в тех случаях, когда каждая варианта признака встречается несколько (неравное) число раз. Статистический материал в результате обработки может быть представлен не только в виде дискретных рядов распределения, но и в виде интервальных вариационных рядов с закрытыми или открытыми интервалами.

В таких рядах условно величина интервала первой группы принимается равной величине интервала последующей, а величина интервала последней группы - величине интервала предыдущей. Дальнейший расчет аналогичен изложенному выше. При расчете средней по интервальному вариационному ряду необходимо сначала найти середину интервалов.

Это и будут значения xi, а количество единиц совокупности в каждой группе fi (таблица 2). Таблица 2 Возраст рабочего, лет Число рабочих, чел (fi) Середина возрастного интервала, лет (xi) 20-30 30-40 40-50 50-60 60 и более 7 13 48 32 6 25 35 45 55 65 Итого 106 Х Средний возраст рабочих цеха будет равен лет. В практике экономической статистики иногда приходится исчислять среднюю по групповым средним или по средним отдельных частей совокупности (частным средним). В таких случаях за варианты (х) принимаются групповые или частные средние, на основании которых исчисляется общая средняя как обычная средняя арифметическая взвешенная.

Средняя арифметическая обладает рядом свойств: 1. От уменьшения или увеличения частот каждого значения признака х в п раз величина средней арифметической не изменится. Если все частоты разделить или умножить на какое-либо число, то величина средней не изменится. 2. Общий множитель индивидуальных значений признака может быть вынесен за знак средней: 3. Средняя суммы (разности) двух или нескольких величин равна сумме (разности) их средних: 4. Если х = с, где с - постоянная величина, то . 5. Сумма отклонений значений признака Х от средней арифметической х равна нулю: Средняя гармоническая Наряду со средней арифметической, в статистике применяется средняя гармоническая величина, обратная средней арифметической из обратных значений признака.

Как и средняя арифметическая, она может быть простой и взвешенной. Применяется она тогда, когда необходимые веса (fi) в исходных данных не заданы непосредственно, а входят сомножителем в одни из имеющихся показателей.

Средняя гармоническая простая рассчитывается по формуле, т.е. это обратная величина средней арифметической простой из обратных значений признака. Например, бригада токарей была занята обточкой одинаковых деталей в течение 8-часового рабочего дня. Первый токарь затратил на одну деталь 12 мин, второй - 15 мин третий - 11, четвертый - 16 и пятый - 14 мин. Определите среднее время, необходимое на изготовление одной детали.

На первый взгляд кажется, что задача легко решается по формуле средней арифметической простой: Полученная средняя была бы правильной, если бы каждый рабочий сделал только по одной детали. Но в течение дня отдельными рабочими было изготовлено различное число деталей. Для определения числа деталей, изготовленных каждым рабочим, воспользуемся следующим соотношением: все затраченное время Среднее время, затраченное = на одну деталь число деталей Число деталей, изготовленных каждым рабочим, определяется отношением всего времени работы к среднему времени, затраченному на одну деталь.

Тогда среднее время, необходимое для изготовления одной детали, равно: Это же решение можно представить иначе: Таким образом, формула для расчета средней гармонической простой будет иметь вид: Средняя гармоническая взвешенная: , где Mi=xi*fi (по содержанию). Например, необходимо определить среднюю урожайность всех технических культур на основании следующих данных (таблица 3): Таблица 3 Валовой сбор и урожайность технических культур по одному из районов во всех категориях хозяйств.

Культуры Валовой сбор, ц (Mi) Урожайность, ц/га (xi) Хлопчатник Сахарная свекла Подсолнечник Льноволокно 97,2 601,2 46,3 2,6 30,4 467,0 11,0 2,9 Итого 743,3 Х Здесь в исходной информации веса (площадь под культурами) не заданы, но входят сомножителем в валовой сбор, равный урожайности, умноженной на площадь Mi=xi*fi, поэтому, а средняя урожайность будет равна. Средняя геометрическая Средняя геометрическая применяется в тех случаях, когда индивидуальные значения признака представляют собой, как правило, относительные величины динамики, построенные в виде цепных величин, как отношение к предыдущему уровню каждого уровня в ряду динамики, т.е. характеризует средний коэффициент роста.

Средняя геометрическая исчисляется извлечением корня степени и из произведений отдельных значений — вариантов признака х: где n — число вариантов; П — знак произведения.

Наиболее широкое применение средняя геометрическая получила для определения средних темпов изменения в рядах динамики, а также в рядах распределения. Средняя квадратическая и средняя кубическая В ряде случаев в экономической практике возникает потребность расчета среднего размера признака, выраженного в квадратных или кубических единицах измерения. Тогда применяется средняя квадратическая (например, для вычисления средней величины стороны и квадратных участков, средних диаметров труб, стволов и т.п.) и средняя кубическая (например, при определении средней длины стороны и кубов). Средняя квадратическая простая является квадратным корнем из частного от деления суммы квадратов отдельных значений признака на их число: , где x1,x2,…xn- значения признака, n- их число.

Средняя квадратическая взвешенная: , где f-веса. Средняя кубическая простая является кубическим корнем из частного от деления суммы кубов отдельных значений признака на их число: , где x1,x2,…xn- значения признака, n- их число.

Средняя кубическая взвешенная: , где f-веса. Средние квадратическая и кубическая имеют ограниченное применение в практике статистики. Широко пользуется статистика средней квадратической, но не из самих вариантов x, и из их отклонений от средней (х — ) при расчете показателей вариации. Средняя может быть вычислена не для всех, а для какой-либо части единиц совокупности. Примером такой средней может быть средняя прогрессивная как одна из частных средних, вычисляемая не для всех, а только для "лучших" (например, для показателей выше или ниже сред- них индивидуальных). Структурные средние.

Для характеристики структуры вариационных рядов применяются так называемые структурные средние. Наиболее часто используются в экономической практике мода и медиана. Мода – значение случайной величины встречающейся с наибольшей вероятностью. В дискретном вариационном ряду это вариант имеющий наибольшую частоту. В дискретных вариационных рядах мода определяется по наибольшей частоте.

Предположим товар А реализуют в городе 9 фирм по цене в рублях: 44; 43; 44; 45; 43; 46; 42; 46;43; Так как чаще всего встречается цена 43 рубля, то она и будет модальной. В интервальных вариационных рядах моду определяют приближенно по формуле, где - начальное значение интервала, содержащего моду; - величина модального интервала; - частота модального интервала; - частота интервала, предшествующего модальному; - частота интервала, следующего за модальным.

Место нахождения модального интервала определяют по наибольшей частоте (таблица 4) Распределение предприятий по численности промышленно - производственного персонала характеризуется следующими данными: Таблица 4 Группы предприятий по числу работающих, чел Число предприятий 100 — 200 1 200 — 300 3 300 — 400 7 400 — 500 30 500 — 600 19 600 — 700 15 700 — 800 5 ИТОГО 80 В этой задаче наибольшее число предприятий (30) имеет численность работающих от 400 до 500 человек. Следовательно, этот интервал является модальным интервалом ряда распределения.

Введем следующие обозначения: =400, =100, =30, =7, =19 Подставим эти значения в формулу моды и произведем вычисления: Мода применяется для решения некоторых практических задач. Так, например, при изучении товарооборота рынка берется модальная цена, для изучения спроса на обувь, одежду используют модальные размеры обуви и одежды и др. Медиана - это численное значение признака у той единицы совокупности, которая находится в середине ранжированного ряда (построенного в порядке возрастания, либо убывания значения изучаемого признака). Медиану иногда называют серединной вариантой, т.к. она делит совокупность на две равные части.

В дискретных вариационных рядах с нечетным числом единиц совокупности - это конкретное численное значение в середине ряда. Так в группе студентов из 27 человек медианным будет рост у 14-го, если они выстроятся по росту. Если число единиц совокупности четное, то медианой будет средняя арифметическая из значений признака у двух средних членов ряда. Так, если в группе 26 человек, то медианным будет рост средний 13-го и 14-го студентов.

В интервальных вариационных рядах медиана определяется по формуле: , где x0 - нижняя гранича медианного интервала; iMe - величина медианного интервала; Sme-1 - сумма накопленных частот до медианного интервала; fMe - частота медианного интервала. Распределение предприятий по численности промышленно - производственного персонала характеризуется следующими данными: Таблица 5 Группы предприятий по числу рабочих, чел. Число предприятий Сумма накопительных частот 100 — 200 1 1 200 — 300 3 4 (1+3) 300 — 400 7 11 (4+7) 400 — 500 30 41 (11+30) 500 — 600 19 — 600 — 700 15 — 700 — 800 5 — ИТОГО 80 Определим прежде всего медианный интервал.

В данной задаче сумма накопленных частот, превышающая половину всех значений (41), соответствует интервалу 400 - 500. Это и есть медианный интервал, в котором находится медиана. Определим ее значение по приведенной выше формуле.

Известно, что: Следовательно, . Cоотношение моды, медианы и средней арифметической указывает на характер распределения признака в совокупности, позволяет оценить его асимметрию. Если M0<Me< имеет место правосторонняя асимметрия. Если же <Me<M0 - левосторонняя асимметрия ряда. По приведенному примеру можно сделать