Независимые события. Биномиальное распределение. Предположим событие Е во всех случаях имеет одну и ту же вероятность, тогда вероятность противоположного события будет так же постоянна и может определяться по формуле. Такой подход позволяет рассматривать практически любое пространство элементарных событий, как дихотомное (то есть состоит из противоположных событий). Допустим, необходимо определить вероятность появления события Е ровно k раз в n независимых испытаниях.
В этом случае событие противоположное Е произойдет n-k раз. Отобрать k-элементов из n можно различными способами, каждый из которых несовместное событие, появление которого это результат игры случая. В математике доказано, что число различных комбинаций из n элементов по k определяется по формуле: это произведение натурального ряда чисел, каждое из которых больше предыдущего на 1 (начиная с 1). В соответствии с теоремой умножения вероятностей вероятность появления одной из возможных комбинаций определяется по формуле: Формула, которая определяет вероятность появления события Е k-раз в n-независимых испытаниях, называется формулой Бернулли.
А схема отбора из дихотомной совокупности схемой Бернулли (или схемой возвращаемого шара или схемой повторного отбора). Пример: Для обслуживания покупателей супермаркета в час пик без очередей должно работать не менее 6 контролеров-кассиров из 8. Вероятность отсутствия одного из работников составляет 0,1. Найти вероятность работы расчетно-кассового узла без очередей. Поскольку нас устраивает работа 6, 7, 8 кассовых кабин, то вероятность появления одного из этих несовместных событий будет определяться по формуле сложения вероятностей.
Каждая из этих вероятностей может определяться по формуле Бернулли.
Таким образом, в 96 случаях из 100 очередей не будет. Если при фиксированной численности n-повторного отбора из дихотомной совокупности изменять величину k, то полученное распределение вероятности будет называться биномиальным. Поскольку его ординаты представляют собой элементы разложения бинома. Число наступления событий в n-независимых испытаниях называется наивероятнейшим, если этому числу соответствует наибольшая вероятность.
При этом если k смешанное число, то в результате выбирается ближайшее к этому смешанному числу, но меньше его, целое число. В примере с кассирами. Математическое ожидание М(k) числа появления событий Е в n-независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытании. Если перейти от абсолютного числа раз появления события к плотностям распределения вероятностей, то будет равно p. Дисперсия биномиального распределения , - по плотности.
График биномиального распределения зависит от соотношения p и q. Если p равно q и равно 0,5, то распределение симметрично, в противном случае (p≠q) наблюдается асимметрия или скошенность полигона. Показатель асимметрии биномиального распределения определяется по формуле: Если, то высота биномиального распределения соответствует высоте кривой нормального распределения. Доказано, что с увеличением числа испытаний значения, а биномиальное распределение стремится к нормальному распределению. 9. Вероятность редких событий.
Формула Пуассона. Применение формулы Бернулли сопряжено с расчетами трех факториалов, что при достаточно больших значениях n, k, n-q, осложняет задачу. Поэтому статистики математики разработали ряд примерных методов, заменяющих формулу Бернулли при решении некоторых частных и общих задач. Пример: Определение вероятности появления редких событий, k-раз, в n независимых испытаниях.
Причем подразумевается нефиксированное, а бесконечно большое количество испытаний ( ). При этом. Такая вероятность определяется по формуле Пуассона (альтернативные независимые события). - математическое ожидание; Формула Пуассона выводится из формулы Бернулли и после ряда преобразований выглядит следующим образом, где k – количество раз, которое произойдет редкое событие. Эта формула применяется в прикладных разработках, в теории массового обслуживания (теории очередей), которая используется для расчета оптимального числа точек обслуживания, числа бензоколонок, числа рабочих мест операционистов в банке (такое число, чтобы не было очередей). Кроме того, формула Пуассона применяется в ситуациях, когда не требуется высокая точность расчетов, а вероятность события p не велика. 10.