ПРАКТИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ
При назначении размеров сжатых стержней в первую очередь приходится заботиться о том, чтобы стержень в процессе эксплуатации при действии сжимающих сил не потерял устойчивость. Поэтому напряжения в сжатом стержне должны быть обязательно меньше критических:
(15.17)
Здесь N — сила, на которую рассчитывается стержень;
Ркр — критическая сила;
Fbrutto — площадь сечения брутто.
Исследования показали, что местные ослабления, например заклепочные отверстия, ослабления за счет врубок и т. п., не оказывают существенного влияния на величину критической силы. Этим объясняется, что в формуле (15.17) при определении критических напряжений берется площадь сечения брутто. В тех особых случаях, когда ослабления весьма значительны, дополнительно производится проверка прочности по ослабленному сечению на чистое сжатие.
Для надежной работы сжатого стержня необходимо предусмотреть определенный запас устойчивости, поэтому напряжения в стержне должны быть меньше расчетного сопротивления, которое в свою очередь должно составлять некоторую часть, от критического напряжения:
(15.18)
где n1 — коэффициент запаса устойчивости.
Проведем сравнение формулы (15.18) с формулой, применяемой при подборе сечений растянутых стержней,
(а)
где R — расчетное сопротивление при растяжении.
Обозначим отношение правых частей формул (15.18) и (а) через φ:
откуда 
Величина φ представляет собой коэффициент уменьшения основного расчетного сопротивления при продольном изгибе. В Строительных Нормах и Правилах (СНиП II-В.3—62) он называется коэффициентом продольного изгиба. Коэффициент φ зависит от критического напряжения, а следовательно, является функцией гибкости стержня [см. формулу (15.9)]:
(15.19)
Значения величины коэффициента φ для различных гибкостей установлены нормами и обычно приводятся в виде таблиц. Эти таблицы учитывают также зависимость φ от возможных эксцентриситетов.
В таблице 11 даны значения коэффициентов φ для центрально-сжатых стержней, взятые из СНиП II-В.3—62.
Коэффициент ф по СНиП И-В. 3—62
| Значения ф для элементов из | Значения ф для элементов | ||||
| стали марок | из стали марок | ||||
| Гибкость | Гибкость | ||||
| элементов | элементов | ||||
| Ст. 3 и Ст. 4 | Ст. 5 | Ст. 3 и Ст. 4 | Ст. 5 | ||
| 1,00 | 1,00 | 0,45 | 0,37 | ||
| 0,99 | 0,98 | 0,40 | 0,32 | ||
| 0,97 | 0,96 | 0,36 | 0.28 | ||
| 0,95 | 0,93 | 0,32 | 0,25 | ||
| 0,92 | 0.89 | 0,29 | 0,23 | ||
| 0,89 | 0,85 | 0,26 | 0,21 | ||
| 0,86 | 0,80 | 180 | 0,23 | 0,19 | |
| 0,81 | 0,74 | 0,21 | 0,17 | ||
| 0,75 | 0,67 | 0,19 | 0,15 | ||
| 0,69 | 0,59 | 0,17 | 0,14 | ||
| 0,60 | 0,50 | 0,16 | 0,13 | ||
| ПО | 0,52 | 0,43 |
* Для деревянных центрально-сжатых элементов:
φ = 1-0.8(λ/100)2 при λ≤75;
φ = 3100/λ2 при λ>75.
Расчетную формулу (15.18) перепишем в следующем виде:
Разделив все члены этого уравнения на φ, получим
Отношение σ/φ будем называть расчетным напряжением σрасч:
Тогда с учетом последнего имеем
(15.20)
Расчетная формула для сжатого стержня в форме (15.20) внешне совпадает с формулой (а) для растянутого стержня. Такая запись удобна тем, что она позволяет пользоваться одним расчетным сопротивлением, как для сжатых, так и для растянутых стержней.
Подбор сечения сжатых стержней представляет собой более сложную задачу, чем растянутых. Это объясняется тем, что величина φ, входящая в расчетную формулу, зависит от размеров и формы поперечного сечения и поэтому заранее не может быть назначена. Ввиду этого подбор сечения обычно проводят путем попыток. Вначале задаются примерными размерами поперечного сечения (или примерным значением φ, например 0,5) и для этого сечения находят площадь, момент инерции, радиус инерции и затем гибкость:
На основании полученной гибкости по таблица 11 определяют величину коэффициента φ, а затем по формуле (15.20) находят напряжение. Естественно, что при первой попытке полученное напряжение может значительно отличаться от расчетного сопротивления. Если оно будет меньше расчетного сопротивления, то размеры нового сечения необходимо уменьшить и, наоборот, увеличить, если напряжение будет больше расчетного сопротивления.
Процесс последовательных попыток продолжается до тех пор, пока разница между σрасч и R не будет меньше той величины, которая установлена СНиПом. Обычно требуется, чтобы разница в указанных напряжениях не превышала 3—5%.
Пример. Подобрать двутавровое сечение из мостовой стали Ст. 3 центрально-сжатой колонны, заделанной одним концом при другом свободном конце. Расчетная сжимающая сила Р = 120 тс. Длина колонны l = 2,6 м. Расчетное сопротивление R = 2100 кгс/см2.
Решение. Коэффициент приведенной длины для данного случая закрепления концов стержня (см. § 117) μ = 2. Подбор сечения проводим путем последовательных приближений.
Приближение 1. Принимаем в первом приближении φ= 0,5, тогда из условия
N/Fφ = R
находим требуемую площадь сечения:
F=N/Rφ = 120000/2100*0.5 = 114cм2
В соответствии с таблицей сортамента принимаем двутавр № 55, для которого F = 114 см2. Радиус инерции imin = 3,44 см. Находим гибкость:
λ = μl/I = 2*260/3.44 = 151.
По табл. 11 имеем φ = 0.32. тогда
σ = N/Fφ = 120000/0.32*114 = 3289 кгс/см2.
Так как напряжение больше расчетного сопротивления, то увеличиваем сечение колонны.
Приближение 2. Принимаем двутавр № 60. Для него F= 132 смг, i= 3,60 см,
λ = 2*260/3,60 = 144; φ = 0,34;
следовательно,
σ = 120000/0,34*132 = 2674кгс/см2>2100кгс/см2
поэтому вновь увеличиваем сечение.
Приближение 3. Принимаем двутавр № 65. Для него F= 153 смг, i= 3,77 см,
Далее находим
λ = 2*260/3,77 = 138; φ = 0,37;
следовательно,
σ = 120000/0,37*153 = 2120кгс/см2≈2100кгс/см2
Так как напряжение практически совпало с расчетным сопротивлением, то на этом задачу подбора сечения заканчиваем. Таким образом, окончательно принимаем двутавр № 65.
Вопросы для самопроверки
1. В чем заключается явление потери устойчивости сжатого стержня?
2. Что называется критической силой и критическим напряжением?
3. Какое дифференциальное уравнение из теории изгиба лежит в основе вывода формулы Эйлера?
4. Что называется гибкостью стержня?
5. Какой вид имеет формула Эйлера, определяющая величину критической силы? Выведите эту формулу.
6. Как влияет жесткость EJ поперечного сечения и длинна l стержня на величину критической силы?
7. Какой момент инерции обычно входит в формулу Эйлера? Возможны ли здесь исключения?
8. Что такое коэффициент приведения длинны и чему он равен при различных условиях закрепления концов сжатых стержней?
9. Как устанавливается предел применимости формулы Эйлера?
10. Что такое предельная гибкость? Выведите выражение, определяющее предельную гибкость.
11. Какой вид имеет формула Ясинского для определения критических напряжений и при каких гибкостях она применяется для стержней из стали Ст.3?
12. Как определяется критическая сила по Ясинскому?
13. Какой вид имеет график зависимости критических напряжении от гибкости для стальных стержней?
14. Сжатый стержень ошибочно рассчитан по формуле Эйлера в области ее неприменимости. Опасна ли эта ошибка или она приведет к перерасходу материала на изготовление стержня?
15. Какой вид имеет условие устойчивости сжатого стержня? Какая площадь поперечного сечения стержня подставляется в это условие?
16. Что такое коэффициент φ, как определяется его значение? Как производится проверка стержней на устойчивость с его помощью?
17. Как подбирается сечение стержня при расчете на устойчивость?
18. Что такое продольно-поперечный изгиб?
19. Можно ли применять принцип независимости действия сил при продольно-поперечном изгибе?
20. Как зависят прогибы при продольно-поперечном изгибе от величины сжимающей силы и значения Эйлеровой силы? Выведите соответствующую формулу.
21. В чем разница в понятиях – Эйлеровая сила и критическая сила, вычисляемая по формуле Эйлера?
22. Как определяются наибольшие нормальные напряжения в поперечном сечении балки при продольно-поперечном изгибе?
23. Как производится расчет на прочность при продольно-поперечном изгибе? Почему этот расчет должен выполняться по допускаемым напряжениям?