1.Загальний випадок прямої кутової засічки
Вимірюються кути і на двох пунктах з відомими координатами, кожен від свого напряму з відомим дирекційним кутом (рис. 5 ).
Початкові дані: ;
Вимірювані величини: і (обидва кути - ліві);
Визначувані величини: координати точки Р .
Якщо або не задані явно, потрібно вирішити зворотну геодезичну задачу спочатку між пунктами А і С і потім між пунктами B і D .
а) загальний випадок б) окремий випадок
Рисунок 5 - Пряма кутова засічка
Послідовність рішення прямої кутової засічки:
- обчислити дирекційні кути ліній АР () і BP ():
; ;
- скласти рівняння прямих ліній АР і ВР:
,
;
- вирішити систему рівнянь і обчислити невідомі координати
,
.
2. Окремий випадок прямої кутової засічки
Кути і зміряні від напрямів AB і BA. При цьому кут - правий, а кут - лівий (рис. ).
Послідовність рішення прямої кутової засічки методом трикутника (окремий випадок засічки):
- вирішити зворотну задачу між пунктами А і B і визначити дирекційний кут і довжину лінії AB,
- обчислити кут при вершині P ;
- для трикутника APB по теоремі синусів обчислити довжини сторін АР () і BP ():
,
- обчислити дирекційні кути і
, ;
- вирішити пряму задачу від пункту А на точку P.
- для контролю - вирішити пряму задачу від пункту B до точки P ;
Контроль: обидва рішення повинні співпасти.
У окремому випадку прямої кутової засічки для обчислення координат можна використовувати формули Юнга:
,
Для переходу від загального випадку прямої кутової засічки до окремого випадку потрібно:
- вирішити зворотну геодезичну задачу між пунктами А і B і одержати дирекційний кут лінії AB.
- обчислити кути в трикутнику APB при вершинах А і B:
;
.
При комп'ютерному рішенні:
1) обчислити дирекційні кути і ,
2) ввести місцеву системи координат з початком в пункті А і з віссю, направленою по лінії АР.
3) виконати перерахунок координат пунктів А і B і дирекційних кутів і з системи в систему (рис. )
; ; ; ;
;
Рисунок 6 - Пряма кутова засічка в системі координат
4) представити рівняння ліній АР і BP в системі
, ;
5) сумісне рішення цих рівнянь
, ; ( 2)
6) перевести координати із системи в систему
,
.
Оскільки і кут засічки завжди більше, то рішення (2) завжди існує!.
1.3.4 Лінійна засічка
Початкові дані: координати пунктів А і В, (відносна похибка вимірювання відстаней );
Вимірювані величини: відстані і ;
Визначувані величини - координати точки P.
Рисунок 7 - Лінійна засічка
Можливі варіанти рішення лінійної засічки.
Варіант 1 (при рішенні на ЕОМ).
1. Виконується рішення системи рівнянь двох зміряних відстаней:
,
.
2. Оскільки ця системи рівнянь не має простого рішення в системі координат , застосовують систему координат з початком в точці А і віссю. Ця вісь направлена від точки А уздовж лінії АВ. Координати точок А і В в новій системі:
3. Рішенням зворотної геодезичної задачі між точками А і В знаходять довжину лінії АВ = .
4. Обчислюють дирекційний кут лінії АВ також з рішення зворотної геодезичної задачі.
5. Задають і спільно вирішують рівняння двох кіл в новій системі координат:
;
.
6. Визначувані координати:
, .
Якщо шукана точка знаходиться зліва від лінії АВ, то у формулі для потрібно брати знак "мінус", якщо справа, то - знак "плюс".
7. Виконують перерахунок координат з системи в систему :
Варіант 2 (для "ручного обрахунку")
1. Обчислюють кути β1 і β2 рішенням трикутника АВР по теоремі косинусів:
,
;
2. Обчислюють кут γ цього ж трикутника ;
3. Обчислюють дирекційні кути сторін АР і BР:
- точка Р праворуч від лінії AB:
,
.
- точка Р ліворуч від лінії AB:
,
4. З рішення зворотної геодезичної задачі між точками А і B визначають дирекційний кут αAB AB лінії АВ.
Дирекційний кут лінії ВА: ;
5. Вирішують прямі геодезичні задачі:
- з пункту А на точку P:
,
.
- з пункту B на точку P:
,
6. Контроль: розбіжність координаті по двох рішеннях не повинна перевищувати 0,02 м;
7. Похибку положення точки P по обчислюють формулі:
,
де- середні квадратичні похибки вимірювання відповідних відстаней
- кут засічки.
.
1.3.5 Зворотна кутова засічка
Зворотною кутовою засічкою називають спосіб визначення координат точки по двох кутах і , зміряним на визначуваній точці між напрямами на три пункти з відомими координатами (рис. 5).
Початкові дані: ;
Вимірювані величини: ;
Невідомі величини: координати точки Р - .
У колі, що проходить через три точки, кут з вершиною на колі вимірюється половиною дуги АВ, на яку він спирається. Центральний кут, що спирається на ту ж дугу, вимірюється всією дугою, отже, він буде дорівнювати (рис. ).
а) до обчислення R і координат Ц
Рисунок 8 - Зворотна кутова засічка
Відстань між пунктами А і В вважається відомою. Радіус кола знаходять і з прямокутного трикутника:
(3)
Рівняння кола має вигляд:
, (4)
Координати центру кола можна обчислити, вирішивши пряму кутову, або лінійну засічку з пунктів А і В на точку Ц.
У рівнянні ( 4) - координати будь-якої точки кола, у тому числі і точки, але для знаходження двох координат точки одного такого рівняння недостатньо.
Рішення зворотної кутової засічки передбачає її розкладання на простіші задачі. Це можуть бути дві прямі кутові засічки і одна лінійна, або три лінійні засічки і т.д. Відомо більше десяти способів аналітичного рішення зворотної кутової засічки.
1.3.6 Рішення зворотної кутової засічки через послідовне рішення трьох лінійних засічок.
Приймаючи, що положення точки Р відоме, можна провести два кола: одну радіусом через точки і інше - радіусом через точки (рис. ).
Радіуси цих кіл :
; .
Якщо координати центрів кіл (точок і) будуть відомі, то:
- координати точки Р можна визначити по формулах лінійної засічки:
з точки по відстані і з точки - по відстані.
- координати центру можна знайти по формулах лінійної засічки з точок А і В по відстанях.
При цьому, з двох рішень приймають відповідне величині кута :
- якщо , то точка знаходиться праворуч від лінії АВ;
- якщо, то точка знаходиться ліворуч від лінії АВ.
- координати центра визначають по формулах лінійної засічки з точок В і С по відстанях.
Одне з можливих рішень з двох вибирається за правилом:
- якщо, то точка знаходиться праворуч від лінії ВС ;
- якщо , то точка знаходиться зліва від лінії ВС .
Задача не має рішення, якщо всі чотири точки і Р знаходяться на одному колі, оскільки обидва кола зливаються в одну, і точку їх перетину вказати неможливо.
1.3.7 Комбіновані засічки
У розглянутих способах рішення засічок кількість вимірювань приймалася теоретично мінімальною (два вимірювання). Вона забезпечує отримання результату, але при цьому немає контролю правильності вимірювань.
На практиці для знаходження координат і однієї точки, як правило, виконують не два, а три і більш вимірювань. В цьому випадку з'являється можливість контролю вимірювань, і, крім того, підвищується точність рішення задачі. Кожне вимірювання, що вводиться в задачу понад теоретично мінімальну кількість, називають надлишковим. Воно створює одне додаткове рішення.
Геодезичні засічки без надлишкових вимірювань прийнято називати одноразовими.
Засічки з надлишковими вимірюваннями називають багаторазовими.
Наявність надмірних вимірювань дозволяють виконати їх математичну обробку - зрівнювання. Строге зрівнювання вимірювань в різних геодезичних побудовах виконується на ЕОМ;
Для ручного рахунку звичайно застосовують нестрогі (спрощені) способи зрівнювання.
Спрощений спосіб зрівнювання якої-небудь багатократної засічки ( вимірювань) передбачає:
- формування і рішення всіх можливих варіантів незалежних одноразових засічок (їх число рівне );
- обчислення середніх значень координат точки зі всіх одержаних результатів, якщо вони розрізняються між собою на допустиму величину.
1.4 Оцінка точності вимірювань
1.4.1 Похибка положення точки в одноразових засічок
Положення точки на площині по двох вимірюваннях виходить в перетині двох ліній положення.
Для зміряної відстані лінією положення є коло радіусу з центром в початковому пункті А (рис. а).
Для зміряного кута з вершиною в початковому пункті А - пряма лінія, проведена під кутом до початкової лінії АВ (рис. б).
Унаслідок помилок вимірювань вводиться поняття "смуга положення".
Для відстані, зміряної з середньою квадратичною помилкою - це круговий пояс (кільце) завширшки між двома колами радіусами і ;
а) для зміряної відстані, б) для зміряного кута.
Рисунок 9 - Лінія положення і "смуга положення" точки Р:
Для кута, зміряного з помилкою - це вузький трикутник з вершиною в точці А і кутом при вершині.
Лінія положення точки є віссю симетрії смуги положення (рис. 9б).
Вводиться так само поняття "вектор похибки вимірювання".
Він позначений його через .
Для зміряної відстані вектор направлений уздовж лінії (прямо або назад) і має модуль .
Для зміряного кута вектор направлений перпендикулярно лінії АР (вліво або вправо від неї) і має модуль :
,
де .
Точка Р, знаходячись на перетині двох ліній положення, є центром чотирикутника положення, що утворюється в перетині двох смуг положення (рис. 7). Цей елементарний чотирикутник можна вважати паралелограмом. В межах його дуги кіл можна замінити відрізками дотичних, а сторони кута, що розходяться, - відрізками прямих, паралельних лінії положення. Відстані від точки Р до меж чотирикутника неоднакові, що говорить про відмінність помилок положення точки Р по різних напрямах.
а) у лінійній засічці, б) у прямій кутовій засічці.
Рисунок 10 - Чотирикутник положення
Лінії положення ділять чотирикутник положення на 4 рівні частини (Рис. 10 ), які називають паралелограмами похибок з кутами при вершинах
і. Кут між векторами помилок і, .
Рисунок 11 - Паралелограми похибок
Висоти паралелограмів помилок чисельно рівні модулям векторів і , сторони паралелограмів одержують по :
; . (5)
Найбільше ухилення від точки мають дві протилежні вершини паралелограма положення; дві інші вершини мають якнайменше ухилення.
У будь-якій геодезичній побудові існує так зване "найслабкіше місце". У цьому місці помилка якого-небудь елементу має найбільше значення. Як правило, для узагальненої характеристики точності даної побудови береться значення помилки саме в цьому найслабкішому місці.
Відповідно до цього принципу за помилку положення точки Р можна прийняти довжину великої діагоналі паралелограма похибок
або з урахуванням (5)
.
Похибка положення точки Р - це скалярна величина, що показує середнє квадратичне відхилення по різних напрямах обчисленого положення точки від її істинного положення
З цієї формули одержано формули для оцінки точності будь-якої одноразової засічки:
- полярна засічка:
; ; ;
;
- пряма кутова засічка:
; ;
- лінійна засічка :
; ;
- зворотна кутова засічка:
У цій засічка і права частина формули похибки положення точки Р повинна містити три складові:
- від похибки лінійної засічки точки Ц1 з початкових пунктів А і В ,
- від похибки лінійної засічки точки Ц2 и з початкових пунктів В і С ,
- від похибки лінійної засічки точки Р з точок Ц1 і Ц2.
У практиці часто достатньо прийняти, що істинне положення точки Р знаходиться усередині кола радіусу з центром в точці Р .
У строгій теорії розглянутий критерій називається радіальною похибкою. Крім того, в цій теорії застосовуються і складніші критерії, такі як "еліпс помилок" (крива 2-го порядку), "подера еліпса помилок" (крива 4-го порядку) і ін.
При кількості вимірювань (багатократні засічки точка виходить в перетині ліній положення, відповідних зрівняним значенням вимірювань. Смуги положення, перетинаючись, утворюють -кутник. Похибка положення точки Р визначатиметься відстанню від точки до найвіддаленішої від неї вершини цього багатокутника.
2. СТВОРЕННЯ геодезичної знімальної мережі засічками
2. 1 Визначення положення точки методом
просторової засічки
Просторову засічку за схемою, що розглядається (рис.1), використовують для визначення координат і висот знімальної основи при щільно забудованій території та на будівельних майданчиках . При цьому можливе застосування умовної системи координат у плані. Кінцева мета- від репера на майданчику із заданою висотою передати висоту на точки знімальної основи.
Рисунок 1 - Схема визначення планового положення точки Р методом прямої кутової засічки з базиса
Похідні дані : висота репера .
Вимірювані величини: базис , горизонтальні кути ,, вертикальні кути ,, відліки по рейках із станцій 1 та 2 ,та
Визначувані величини: координати Хр, Yp і висота точки Р
Послідовність виконання роботи