Якщо та ¾ функції, що мають на деякому проміжку неперервні похідні, то справедлива формула інтегрування частинами:
.
Методом інтегрування частинами зручно обчислювати такі типи інтегралів:
а) інтеграли виду ,,, де P(x) ¾ багаточлен, а a ¾ дійсне число. У цих інтегралах за u слід взяти множник P(x), а за ¾ вираз, що залишився;
б) інтеграли виду , , , , де P(x) ¾ багаточлен. У цих інтегралах слід взяти за ;
в) інтеграли виду , , , , де k і b ¾ дійсні числа. В даному випадку після застосування формули інтегрування частинами утворюється лінійне рівняння відносно шуканого інтеграла. Розв’язуючи це рівняння, знаходять інтеграл.
Приклад 9. .
Рішення.
.
Приклад 10. .
Рішення.
.
Приклад 11. .
Рішення.
.
Приклад 12. .
Рішення.
.
Приклад 13. .
Рішення.
.
Часто метод інтегрування частинами застосовується разом з методом заміни змінної.
Приклад 14. .
Рішення.
.
Розглянемо інтеграли, які при застосуванні формули інтегрування частинами утворюють лінійне рівняння відносно шуканого інтеграла.
Приклад 15. .
Рішення. Позначимо шуканий інтеграл через I.
.
Таким чином, одержали рівняння відносно шуканого інтеграла I. Розв’язавши це рівняння:
,
одержимо: .
Такі інтеграли можна також розв’язувати методом заміни змінної (про це мова піде далі).
Розглянемо ще один зворотній інтеграл.
Приклад 16. .
Рішення. Як і в попередньому випадку позначимо шуканий інтеграл через I.
,
,
,
.