Приклад 23. .
Рішення. Підінтегральна функція є неправильний дріб, тому виділяємо цілу частину:
Таким чином,
.
Ми одержали правильний дріб, який тепер можемо розкласти на суму елементарних дробів
.
Знаходимо невизначені коефіцієнти (A, B, C), приводячи праву частину до спільного знаменника і прирівнюємо чисельники. Одержимо тотожність
.
У цьому випадку доцільно використовувати метод находження невизначених коефіцієнтів, надаючи х значення коренів і підставляючи їх у тотожність.
Таким сином, значення коефіцієнтів знайдено спрощеним способом. Знаходимо шуканий інтеграл
4.2 Розглянемо випадок, коли знаменник має тільки дійсні корені, деякі з них кратні.
Приклад 24. .
Рішення. Підінтегральний дріб правильний. Розкладаючи на суму елементарних дробів, одержимо
.
Приведемо праву частину до спільного знаменника і прирівняємо чисельники, одержимо
.
При знаходженні коефіцієнтів (А, В, С) використаємо два методи, комбінуючи метод поодиноких значень коренів та метод порівняння коефіцієнтів при однаковому степені змінної х. Тобто,
2=А | |
Одержимо А=2, , . Знаходимо шуканий інтеграл:
.
4.3 Розглянемо випадок, коли знаменник має комплексні різні корені.
Приклад 25. .
Рішення. Підінтегральний дріб правильний. Розкладаючи на суму дробів, маємо: .
Приводячи праву частину до спільного знаменника і прирівнюючи чисельники, одержимо
,
.
Порівнюючи коефіцієнти при однакових степенях, знайдемо
Знайдемо шуканий інтеграл
.
4.4 Розглянемо випадок, коли знаменник має комплексні кратні корені.
Приклад 26. .
Рішення. Підінтегральний дріб правильний. Розкладаючи дріб на суму елементарних дробів, маємо
.
Приводячи праву частину до спільного знаменника і прирівнюючи чисельники, одержимо
.
Комбінуючи методи, знайдемо невизначені коефіцієнти:
.
2=4А, | |
, | |
Одержали коефіцієнти . Знайдемо шуканий інтеграл:
Інтеграл знаходиться за допомогою рекурентної формули, тобто тоді