Інтеграли виду , де ¾ раціональна функція двох змінних, приводяться до інтегралів від раціональної функції нового аргументу t підстановкою яка називається універсальною. При цьому використовуються формули .
Універсальна тригонометрична підстановка, раціоналізуючи інтеграл часто приводить до раціональних дробів з великими степенями. Тому в багатьох випадках користуються іншими підстановками. Наведемо деякі з них:
1) раціоналізується підстановкою ;
2) раціоналізується підстановкою ;
3) раціоналізується підстановкою
4) ¾
а) якщо функція R непарна відносно , то функція раціоналізується підстановкою
б) якщо функція R непарна відносно , то функція раціоналізується підстановкою
в) якщо функція R парна відносно зразу та , то функція раціоналізується підстановкою
г) якщо функція то функція раціоналізується за допомогою універсальної тригонометричної підстановки.
5) ¾
а) якщо n ¾ ціле додатне непарне число, то підстановка
б) якщо m ¾ ціле додатне непарне число, то підстановка
в) якщо m і n ¾ цілі додатні парні числа, то застосовують формули пониження степеня:
г) якщо m і n – цілі парні числа, але хоча б одне з них від’ємне, або коли m і n – цілі непарні і від’ємні числа, то використовується підстановка
6) інтеграли виду обчислюються за допомогою тригонометричних формул перетворення добутку функції в суму:
a.
b. ;
c. .
Приклад 27. .
Рішення. Тут використовується універсальна тригонометрична підстановка.
.
Приклад 28. .
Рішення. Підінтегральна функція парна відносно sin x і cos x, тобто
,
використаємо підстановку
.
Приклад 29. .
Рішення. Підінтегральна функція непарна відносно sin x:
використаємо підстановку
=
Приклад 30.
Рішення.
Приклад 31.
Рішення. Цей інтеграл виду де є парне від’ємне число, тому використаємо підстановку
Приклад 32.
Рішення. Тут використаємо формули пониження степеня.
Приклад 33.
Рішення. Цей інтеграл можна обчислити двома способами.
Перший спосіб – застосування формули пониження степеня.
Другий спосіб – застосування рекурентної формули
тоді