Інтегрування диференціальних біномів.

Вираз виду де m,n,p – сталі раціональні числа, називається диференціальним біномом. Російський математик П.Л.Чебишев у 1853 р. показав, що інтеграли від диференціального бінома виражаються через інтеграли від раціональної функції відносно нової змінної лише в тому випадку, якщо одне з чисел є цілим. Ці інтеграли зводяться до вже розглянутих за допомогою таких підстановок:

1) P – ціле число (додатне, від’ємне чи 0), виконуємо підстановку де s – найменший спільний знаменник дробів m і n;

2) ціле число (додатне, від’ємне чи 0), виконуємо підстановку , де r – знаменник дробу p.

3) ціле число (додатне, від’ємне чи 0), виконуємо підстановку де r – знаменник дробу p.

В інших випадках інтеграл від диференціального бінома через елементарні функції не виражається.

Приклад 38.

Рішення. Тут m=3, n=2, Оскільки є ціле число, використовуємо підстановку тобто

Приклад 39.

Рішення. Так як то Оскільки є ціле число, то виконуємо підстановку тобто