Московский государственный Горный университет Курсовой проект по исследованию операций. Решение задачи методами линейного, целочисленного, нелинейного и динамического программирования.Выполнил студент группы ПМ – 1 – 97 Солодовников Д. А. Научный руководитель: Багрова Г.И. Москва 1999 г. Содержание: Цель курсовой работы … 3 Линейное программирование … 4 Решение задачи методом линейного программирования ….6 Целочисленное линейное программирование … 9 Решение задачи методом целочисленного линейного программирования … 10 Нелинейное программирование ….15 Решение задачи нелинейного программирования …15 Динамическое программирования … 20 Решение задачи динамического программирования ….21 Графическая интерпретация решений …25 Трудоемкость и эффективность решения модели различными методами …….27 О проекте … 28 Цель курсовой работы. Решить задачу методами линейного, целочисленного, нелинейного и динамического программирования.
Сопоставить трудоемкость и эффективность решения модели различными методами.
Задание: Определить плановые задания добывающим предприятиям, если в работе находится N = 12 составов. Цена готовой продукции 50 у.е. за тонну. Руда, поступающая на обогатительную фабрику должна иметь содержание 29,8 – 29,9%. Наименование показателя Единицы Измерения Предприятия 1 2 3 Max добыча ПИ тыс. тонн 600 Содержание полезного компонента % 29,1 29,8 30,8 Извлечение % 70 Затраты на добычу, транс-портировку и переработку у.е. /т 8 Производительность Состава тыс. тонн 106 Коэффициент увеличения затрат при нагрузке: До 30% - 31 – 50% - 51 – 70% - 71 – 100%- максимальной 1,8 1,7 1,6 1,4 1 1,7 1,5 1,4 1,2 1 1,9 1,7 1,6 1,3 1 В курсовом проекте введены следующие условные обозначения: ЛП – линейное программирование; ЦЛП – целочисленное линейное программирование; ДП - динамическое программирование.
Линейное программирование.
Основная задача линейного программирования: Найти неотрицательное решение системы ограничений (1,2) обеспечивающее максимум (минимум) целевой функции. 1) Первый канонический вид: a11x1+a12x2+…+a1jxj+…+a1nxnb1 a21x1+a22x2+…+a2jxj+…+a2nxnb2 … ai1x1 +ai2x2+…+aijxj +…+ ainxnbi .… am1x1+am2x2+…+amjxj+…+amnxnbn xj0; j=1,n; i=1,m; Z=C1x1+C2x2+…+Cjxj+…+Cnxnmax (min); 2) Второй канонический вид: a11x1+a12x2+…+a1jxj+…+a1nxn+y1=b1 a21x1+a22x2+…+a2jxj+…+a2nxn+y2=b2 … ai1x1 +ai2x2+…+aijxj +…+ ainxn+yi=bi .… am1x1+am2x2+…+amjxj+…+amnxn+ym=bn xj0; j=1,n; i=1,m; Z=C1x1+C2x2+…+Cjxj+…+Cnxnmax (min); Чтобы решить задачу линейного программирования необходимо привести ее к каноническому виду. Теоремы линейного програмирования: Теорема 1. Множество допустимых решений основной задачи линейного программирования выпукло. Теорема 2. Линейная функция задачи линейного программирования достигает своего экстремального значения в крайней точке множества решений.
При решении системы ограничений могут возникнуть следующие случаи: 1) Система ограничений несовместна, поэтому отыскать оптимальное решение невозможно (рис. 1.1). 2) Система ограничений имеет единственное решение ( рис. 1.2). 3) Система ограничений имеет конечное число решений (имеется замкнутая область допустимых решений). Оптимальное решение отыскивается среди решений, принадлежащих данной области(рис. 1.3). 4) Система ограничений имеет бесчисленное множество решений (рис. 1.4). Рис. 1.1 Рис. 1.2 Рис. 1.3 Рис. 1.4 C a b Рис. 2 Симплекс – метод. Решение задачи линейного программирования включает в себя 3 этапа: 1) Отыскание базисного решения – некой точки А (рис. 2) лежащей на функции. 2) Отыскание опорного решения – некой точки B (рис. 2) принадлежащей области, образованной ограничениями. 3) Отыскание оптимального решения – некой точки С (рис. 2) принадлежащей той – же области, и в которой целевая функция достигает своего экстремума.
Отыскание оптимального решения с использованием симплекс – метода сводится к последовательному направленному перебору вершин многогранника, образованного ограничениями при котором монотонно увеличивается (уменьшается) значение целевой функции.
В настоящее время решение задач ЛП с помощью симплекс – метода реализуется с помощью ЭВМ.
Решение задачи методом линейного программирования. Симплекс – метод. О... 1.x1 + x2 + x312 По максимальному объему добычи руды с каждого из пред... Цикл повторяется до тех пор пока не будет получено целочисленное решен... 2.Если мы получим оптимальные целочисленные решения задачи ЛП, то они ... 4.Затем производится ветвление по одному из нецелочисленных оптимальны...
Решение задачи методом целочисленного линейного программирования. К ограничениям задачи ЛП добавляем ограничение а. Получаем седьмым ограничением ограничение x1 6; Решение: 2.Вершина 2 x... Решаем ветвь 2. тонн; Для предприятия 2: тыс.
Так мы повторяем до тех пор, пока не будет получено на двух последующи... Собственно этот коэффициент и введен для превращения задачи в нелинейн... Доход Прибыль На 1т у.е. 1 2 3 4 5 6 7 8  100 6,17 1 6 11,64 5,64 676,8 70 – 100 4.... тонн; Для предприятия 2: тыс.
Данные возьмем из задачи нелинейного программирования: количество сост... Количество составов Прибыль на 1 состав 5,66 294,68 3,96 – 5,66 40,28 ... Здесь x - общее количество ресурсов (составов) для двух предприятий; x... q1, q2 – эффективность использования средств предприятиями 1 и 2 соотв... Количество Составов x3 x Эффективность использования ресурсов q3 W2 W3...
Решение задачи ЛП. Из ограничения 1 задачи ЛП: Выразим Ограничения: 1)x16,17 , значит 12 ... x2 = 0,95; x3 = 4,89, что соответствует решению с помощью симплекс – м... x2 = 2, x3 = 6. Трудоемкость и эффективность решения модели различными методами.
О проекте.
Проект выполнен студентом второго курса факультета РПМ Московского государственного горного университета Солодовниковым Дмитрием.
Использованная литература: Резниченко С.С Ашихмин А.А. Математические методы и моделирование в горной промышленности. – М.: Издательство Московского горного университета, 1997, 404 c.