ТЕОРИЯ ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

ТЕОРИЯ ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ. Понятие модели, их виды и сущность Понятие модели возникло и существовало очень, очень давно.

В общем виде модель можно определить как условный образ (упрощенное изображение) реального объекта (процесса), который создается для более глубокого изучения действительности. Метод исследования, базирующийся на разработке и использовании моделей, называется моделированием. Необходимость моделирования обусловлена сложностью, а порой и невозможностью прямого изучения реального объекта (процесса). Значительно доступнее создавать и изучать прообразы реальных объектов (процессов), т.е. модели.

Люди начали пользоваться математическими моделями еще до осознания математики как самостоятельной науки — достаточно вспомнить исчисление площадей в Древнем Египте. И. Кеплер и особенно И. Ньютон, применив математику к задачам естествознания и практики, заложили основы современного представления о математических моделях. В дальнейшем развитии науки и техники область применения математических моделей все более, расширялась, модели становились разнообразнее.

Значительное усложнение математических моделей, потребность в существенном ускорении решения прикладных математических задач привели к необходимости появления принципиально новых вычислительных средств, и ЭВМ, проникшие сейчас в самые разнообразные области деятельности, были впервые созданы именно для «обслуживания» математических моделей. И сейчас роль ЭВМ при изучении и применении математики столь велика, что термин математическое моделирование часто применяется по отношению к области прикладной математики, включающей в себя как построение и исследование математических моделей, так и создание вычислительных алгоритмов и программ, реализующих эти алгоритмы на ЭВМ. Подобие между моделируемым объектом и моделью может быть физическое, структурное, функциональное, динамическое, вероятностное и геометрическое.

При физическом подобии объект и модель имеют одинаковую или сходную физическую природу.

Структурное подобие предполагает наличие сходства между структурой объекта и структурой модели. При выполнении объектом и моделью под определенным воздействием сходных функций наблюдается функциональное подобие. При наблюдении за последовательно изменяющимися состояниями объекта и модели отмечается динамическое подобие, вероятностное подобие при наличии сходства между процессами вероятностного характера в объекте и модели, а геометрическое подобие при сходстве пространственных характеристик объекта и модели.

На сегодняшний день общепризнанной единой классификации моделей не существует. Однако из множества моделей можно выделить словесные, графические, физические, экономико-математические и некоторые другие типы. Словесная, или монографическая, модель представляет собой словесное описание объекта, явления или процесса. Очень часто она выражается в виде определения, правила, теоремы, закона или их совокупности. [1, С. 185] Графическая модель создается в виде рисунка, географической карты или чертежа.

Например, зависимость между ценой и спросом может быть выражена в виде графика, на оси ординат которого отложена цена (P1, P2), а на оси абсцисс величина спроса (Q1, Q2). Кривая (D) нам наглядно иллюстрирует, что с ростом цены спрос падает, и наоборот. Конечно, данную зависимость можно выразить и словесно, но графически она намного нагляднее (рисунок 1). Рисунок. 1 Графическая модель спроса. Физические, или вещественные, модели создаются для конструирования пока еще несуществующих объектов.

Создать модель самолета или ракеты для проверки ее аэродинамических свойств значительно проще и экономически целесообразнее, чем изучать эти свойства на реальных объектах. [2, С. 40] Экономико-математические модели отражают наиболее существенные свойства реального объекта или процесса с помощью системы уравнений. Необходимо отметить, что опять же единой классификации экономико-математических моделей сейчас не существует, выделяют более десяти основных признаков их классификации. Рассмотрим некоторые из них: 1. по общему целевому назначению: 1.1. теоретико-аналитические (используются при изучении общих свойств и закономерностей экономических процессов). 1.2. прикладные (применяемые в решении конкретных экономических задач). 2. по степени агрегирования объектов в моделировании: 2.1. макроэкономические (отражающие функционирование экономики как единого целого). 2.2. микроэкономические (модели, связанные, как правило, с такими звеньями экономики, как предприятия и фирмы). 3. по конкретному предназначению (т.е. по цели создания и применения): 3.1. балансовые модели (выражающие требование соответствия наличия ресурсов и их использования). 3.2. трендовые модели (в них развитие моделируемой экономической системы отражается через тренд (длительную тенденцию) её основных показателей) 3.3. оптимизационные (предназначены для выбора наилучшего варианта из определённого числа вариантов производства, распределения или потребления) 3.4. имитационные (предназначены для использования в процессе машинной имитации изучаемых систем или процессов) и др. 4. по типу информации: 4.1. аналитические (построенные на априорной информации). 4.2. идентифицируемые (построенные на апостериорной информации). 5. по учёту фактора времени: 5.1. статические (в них все зависимости отнесены к одному моменту времени). 5.2. динамические (описывают экономические системы в развитии). 6. по учёту фактора неопределённости: 6.1. детерминированные (если в них результаты на выходе однозначно определяются управляющими воздействиями). 6.2. стохастические (если при задании на входе модели определённой совокупности значений на её выходе могут получаться различные результаты в зависимости от действия случайного фактора). 7. по типу математического аппарата, используемого в модели: 7.1. матричные модели 7.2. модели линейного и нелинейного программирования 7.3. корреляционно-регрессионные модели 7.4. модели теории массового обслуживания 7.5. модели сетевого планирования и управления 7.6. модели теории игр и др. 8. по типу подхода к изучаемым социально-экономическим системам: 8.1. дескриптивные (модели, предназначенные для описания и объяснения, фактически наблюдаемых явлений или для прогноза этих явлений). 8.2. нормативные (при нормативном подходе интересуются не тем, каким образом устроена и развивается экономическая система, а как она должна быть устроена и как должна действовать в смысле определённых критериев). 4[4, С. 215] В данной курсовой работе будет рассмотрена экономико-математическая модель межотраслевого баланса (МОБ) – так называемая таблица «затраты - выпуск». С учётом приведённых выше классификаций это прикладная, макроэкономическая, аналитическая, дескриптивная, детерминированная, балансовая, матричная модель; при этом существуют как статические, так и динамические МОБ. Под балансовой моделью понимается система уравнений, каждое из которых выражает требование баланса между произведённым отдельными экономическими объектами количеством продукции и совокупной потребностью в этой продукции.

В данном случае рассматривается система экономических объектов, которые выпускают некоторый продукт, часть его потребляется другими объектами системы, а другая часть выводиться за пределы системы в качестве её конечного продукта. [1, С. 185] Балансовый метод и создаваемые на его основе балансовые модели служат основным инструментом поддержания пропорций в народном хозяйстве.

Исходя из этого, они требуют пристально внимания со стороны науки. 1.2. Возникновение и развитие МОБ (модели «затраты - выпуск») Приступая к изучению МОБ (модели межотраслевого баланса), прежде всего, необходимо выяснить, с чего начиналось развитие науки - экономики.

Истоки экономической мысли уходят своими корнями в глубокую древность. Уже первобытные люди владели началами экономических знаний, имели некоторые представления об отношениях, складывающихся между членами первобытной общины по поводу производства, распределения, обмена и потребления, жизненных благ. «Если заставить человека отказаться от потребления, он откажется производить», говорил Давид Риккардо.

Действительно, с момента своего появления, человек выступал одновременно в двух неразрывных ролях: производителя товаров и их потребителя.

Занимаясь охотой, рыбной ловлей, собирательством, примитивным земледелием древние люди предполагали потребить произведенные ими продукты, иначе сама их деятельность теряет смысл.

В ходе производства, потребления, обмена человек вступал в экономические отношения с другими людьми.

Как поделить убитую на охоте добычу? Стоит ли сообщать соплеменникам о полянке, где много жирных вкусных гусениц? На сколько рыб можно обменять каменный топор? Рациональное решение всех этих задач предполагает формирование и развитие у человека экономического мышления.

Таким образом, человек разумный постепенно становился человеком экономическим.

Современная экономика это сплетение различных сфер человеческой жизни людей.

При анализе структурных взаимосвязей в национальной экономике в системе национального счетоводства используется балансовый метод, получивший названия «затраты - выпуск». Принцип взаимозависимости, без которого не существует ни одна экономика, имеет довольно длинную историю, которая началась еще до Вальраса и Парето.

Его истоки можно обнаружить в учении французских физиократов XVIII в один из которых, Франсуа Кенэ, в своей "Экономической таблице" пытался показать, как происходит движение товаров и денег между различными секторами экономики.

Кенэ ставил перед собой задачу доказать преимущественное значение сельского хозяйства в экономике, как и то, что только сельскохозяйственный труд создает доход общества. Аналогичную схему разработал и Маркс, но определяющее значение у него имеет уже не сельское хозяйство, а промышленность. Это особенно отчетливо выражено в схемах воспроизводства, содержащихся во II томе "Капитала". Эти "модели", однако, представляли собой довольно общую схему экономики.

В схеме Маркса экономика состоит из двух подразделений: производство средств производства и производство предметов потребления. Заслуга первого точного теоретического определения принципа взаимозависимости принадлежит Леону Вальрасу. В его модели содержатся функции полезности, функции предложения и спроса, а также коэффициенты производства, так что это давало возможность определить цены и количество товаров, поступающих на рынок.

Но схема Вальраса носила чисто теоретический характер; он выражал сомнение в практической применимости ее, ибо вряд ли когда-либо будут доступны необходимые статистические данные. Парето и Бароне также не верили в то, что теорию равновесия можно наполнить реальным содержанием. В течение длительного времени экономисты ставили под вопрос "разрешимость" Вальрасовой системы, то есть существование единственного в своем роде и определенного равновесия. Лишь в 1930-х годах видный математик Абрахам Вальд доказал возможность такого решения.

Однако его модель не гарантировала восстановления равновесия, если последнее нарушалось (в отличие от системы Вальраса). Как показал Вальд, в теории Вальраса содержалось в лучшем случае лишь одна линия равновесия. Построения Парето имели более богатое содержание, потому что он стремился использовать различные технические коэффициенты, а не одну однородную линейную производственную функцию. Хикс же, как и Самуэльсон, стремился к тому, чтобы система реагировала на изменения в параметрах.

Еще одна трудность в теории Вальраса заключалась в том, что, поскольку имелись уравнения для каждого товара и фактора, даже для небольшой по масштабам "экономики` приходится решать тысячи уравнений. Вопрос агрегирования, то есть объединение нескольких элементов в единое целое, не приходил на ум Вальрасу, поэтому всякое практическое использование разработанной им системы было вне человеческих возможностей. [9, С. 168] Первым шагом к практическому использованию теории общего равновесия была таблица «затраты – выпуск» Василия Леонтьева.

Эта таблица впервые была опубликована в работе «Структура американской экономики» в 1919-1929 гг. Основные идеи, заложенные в методе «затраты – выпуск», были сформулированы Леонтьевым еще в студенческие годы, а в последующем развивались и доводились им до нынешнего состояния. Метод «затраты – выпуск» определенно отвечал критерию подлинно научной теории: он знаменовал собой программу эмпирических исследований, преследовавших цель наполнить теоретические построения реальным содержанием.

По мере того как накапливались статистические данные и создавались теоретические построения, пригодные для числовой обработки, экономическая наука начала покидать сферу чистого мышления и все чаще соединяла теорию с фактами. Казался близким день, когда об экономистах уже никто не мог бы сказать, что они стремятся: " разделив одну экономическую фикцию (нечто не существующее) на другую, и получить реальный факт". С появлением метода «затраты – выпуск» возникло убеждение, что теория общего равновесия, выступавшая до сих пор в исключительно абстрактной форме, какую ей придал Вальрас, сможет быть наполнена практическим содержанием. Этому способствовало и появление быстродействующих электронно-вычислительных машин.

Складывалось мнение, что экономисты в конце концов выйдут за пределы статистического изучения временных рядов и анализа по методу регрессии, с помощью которых исследовались лишь отдельные стороны экономической действительности.

Хотя Парето и даже Викселль сомневались в возможности численного решения модели экономического равновесия, Вальд и Джон фон Нейман доказали необоснованность этих сомнений. Дискуссия вокруг этого аспекта теории равновесия началась с замечания, сделанного в 1932 г. Гансом Нейссером; последний заявил, что требуется нечто большее, чем просто установить цены и показатели производства в неотрицательных величинах. Несколькими годами позже Карл Менгер отметил, что одна из функций экономической модели состоит в том, чтобы установить различие между свободными и редкими благами.

Этой же проблеме уделял внимание и Вальд в статьях, относящихся к 1935 и 1936 гг. Нейман же в своей модели пошел дальше статической системы Вальда, ибо он ввел несколько вариантов производства, хотя и с фиксированными коэффициентами. И что важно, товары рассматривались одновременно и как затраты, и как продукты, а это подводило к понятию обращения товаров между отраслями экономики.

В анализ входил и потребительский спрос, причем труд рассматривался как продукт домашнего хозяйства, а средства существования - как издержки этого "выпуска". Вся система была замкнутой, лишенной каких-либо излишков, необходимых для инвестирования. Вопрос заключался в том, может ли быть сохранено равновесие экономики, если последняя растет и расширяется? Нейман показал, что при условии пропорционального роста во всех секторах экономики по крайней мере в одном из них темп определяется нормой процента.

Если же одна из отраслей растет быстрее, чем процентные платежи, то образуется неоплаченный излишек. Таким образом, в модели Неймана присутствует известный элемент динамики. Эти чрезвычайно абстрактные построения, перегруженные математическими расчетами, дали тем не менее толчок развитию не только метода «затраты – выпуск», но и линейного программирования. [15, С. 102] Но самый ценный вклад в методику численного решения экономических моделей был сделан в 1940-х годах Леонтьевым, создавшим метод «затраты – выпуск». Отныне стало возможным численное решение больших систем уравнений. Современная электронно-вычислительная машина способна с феноменальной скоростью решить систему из тридцати уравнений с таким же числом неизвестных.

Метод «затраты – выпуск» вполне себя оправдывает, по крайней мере в теоретическом плане. Как заметил Леонтьев, имеется определенная связь между, скажем, продажей автомобилей в Нью-Йорке и спросом на хлеб в Детройте.

По сути дела, всю страну можно рассматривать как единую систему учета, где каждый сектор имеет собственный "бюджет" экономической активности. [19, С. 796] 1.3.