Реферат Курсовая Конспект
Лекция №1 АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД - раздел Философия, Лекция №1 Аксиоматический Метод ...
|
Лекция №1
АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД
Содержание и цель формального обоснования математики
Современный аксиоматический метод является одной из форм так называемого формального обоснования математики. Выясним смысл и цель формального обоснования математики.
В каждой математической теории речь идет, вообще говоря, о некоторых объектах, их взаимных отношениях и связях. Так, например, в геометрии Евклида основными объектами (элементами) являются точки, прямые и плоскости. Их взаимные отношения выражают словами «лежит на», «между», «равный», «параллельный», «непрерывный»; связи элементов и построенных из них геометрических фигур описываются в системе аксиом. До второй половины XIX века большинство математиков считало геометрию научной дисциплиной, изучающей только, образования из тех точек, прямых и плоскостей, которые Евклид описал в своих «Началах». В первой половине XIX века Понселе и Жеpгoн установили принцип двойственности проективной геометрии, были открыты новые геометрии – геометрия Лобачевского и др. Эти факты показали ограниченность традиционного толкования предмета геометрии.
Прямые Евклида и прямые Лобачевского качественно различны; значит, различны и треугольники, которые можно из них построить. Рассуждая по-старому, было естественно предположить, что и все относящиеся к ним теоремы будут иметь различное содержание. Однако, оказалось, что это не так: каждая теорема геометрий Евклида, доказанная без привлечения аксиомы параллельности, справедлива в геометрии Лобачевского и наоборот, например теоремы «внешний угол треугольника больше каждого внутреннего, с ним не смежного»; «против большей стороны лежит больший угол» и т.п.
Чтобы разрешить эти «парадоксы», надо было признать, что геометрические теории дают описание не только свойств объектов из одной области объектов, но и описывают общее - структуру отношений и форм связей, в которых могут выступать объекты различных областей объектов. Надо было, далее расширить традиционное толкование предмета геометрии и признать, что основные понятия и положения, а значит и теоремы геометрических теорий допускают многие реальные истолкования, или как теперь принято говорить, допускают различные интерпретации.
Теперь эта общность форм связей одноименных объектов различных интерпретаций каждой математической теории описывается в понятии изоморфизма. Если две области объектов (для объектов которых установлены свои отношения и связи) изоморфны, то они могут служить интерпретациями одной и той же математической теории.
Пусть А и В — две области объектов, которые рассматриваются с некоторыми определенными для них отношениями. Допустим, что:
1. Каждому объекту а области А соответствует один объект в области В, и наоборот.
2. Каждому отношению, рассматриваемому в области А, соответствует определенное отношение в области В, и наоборот.
3. Если некоторые объекты a1, a2, ... области А связаны соотношением φ(a1, a2, ...) то соответствующие элементы в1, в2, ... области В связаны соответствующим соотношением ψ(в1, в2, ...), и наоборот.
В этом случае говорят, что области А и В изоморфны. Это и означает, что их структуры тождественны, что каждая из них может служить интерпретацией одной и той же математической теории. Пример изоморфного отображения дает принцип двойственности в проективной геометрии, так как проективное пространство может быть изоморфно отображено на само себя с превращением точек в плоскости, а плоскостей в точки. Аналогично представление комплексных чисел в виде пар (х, у) действительных чисел или при помощи векторов, расположенных на плоскости, так как при соответствующих условиях множество всех пар (х, у) действительных чисел и множество векторов плоскости изоморфны.
Признание формального (всеобщего) характера математических теорий открывало широкий простор для дальнейшего развития математики. Оказалось, что
Логически мыслимы различные геометрические теории, по своим исходным положениям существенно отличающиеся от геометрии Евклида.
Геометрия - часть математики, представляющая науку о пространственных отношениях и формах тел, а также о других отношениях и формах действительности, сходных с пространственными по своей структуре.
Истинность каждой геометрической теории должна проверяться на практике (понимаемой в широком смысле слова, вплоть до практики моделирования на объектах ранее обоснованных теорий.
Признание формального (всеобщего) характера математических теорий открывает широкий простор для использования методов одних математических теорий для решения задач других математических теорий. Классический образец такого рода дает теория групп с ее многочисленными предложениями.
Примерно во второй половины XIX столетия математики пришли к формальному обоснованию математических дисциплин. При формальном обосновании математической теории не сообщают, о каких объектах идет речь, не говорят, каков конкретный смысл отношений и связей, в которых могут выступать изучаемые объекты. Объекты, отношения и связи их только указываются. Но зато стараются наиболее точно и полно описать структуру основных отношений и связей, которые являются общими для объектов изучаемых областей объектов.
Лекция №2
Исторический очерк обоснования геометрии.
Содержание «Начал» Евклида.
В первой книге излагаются условия равенства треугольников, теории параллельных линий, соотношения между сторонами и углами треугольников, учение о площадях треугольников и параллелограммов, доказывается теорема Пифагора в ее геометрической формулировке.
Во второй книге — геометрическая алгебра, состоящая из целого ряда алгебраических тождеств, доказываемых геометрическим способом. Заканчивается книга геометрической теорией решения квадратных уравнений.
В третьей — учение о круге и окружности, о секущих и касательных и об углах, образуемых ими, а также о степени точки относительно окружности.
В четвертой — учение о вписанных и описанных многоугольниках, а также построение правильных многоугольников (четырехугольника, пятиугольника и пятнадцатиугольника).
В пятой — в геометрической форме излагается теория рациональных и иррациональных чисел, включая и основные действия над ними, а также дается геометрическая теория пропорций по Евдоксу, которой древние греки владели в совершенстве.
В шестой — учение о подобных фигурах и решение на отыскание пропорциональных величин, расширение геометрической алгебры, применение теории пропорций, изложенной в пятой книге.
В седьмой, восьмой и девятой книгах — геометрическая теория чисел, содержащая учение о наибольшем общем делителе и наименьшем кратном (седьмая книга), а также учение о непрерывных пропорциях, относимых к числам, и учение о соотношении между вторыми и третьими степенями чисел (восьмая и девятая книги). В этих книгах представлена известная теорема Евклида о бесконечности множества простых чисел, доказываемая методом от противного, а также теорема о четных совершенных числах.
В десятой книге — дальнейшее изложение геометрической алгебры, включающей в себя учение о несоизмеримых величинах, и квадратичные иррациональности.
В одиннадцатой, двенадцатой и тринадцатой книгах — стереометрия, состоящая из рассмотрения задач на определение отношения площадей кругов, объемов пирамид и других тел, причем, при решении этих вопросов используется метод исчерпывания Евдокса (одиннадцатая и двенадцатая книги). «Начала» Евклида заканчиваются изучением правильных многогранников, к которым относятся четырехгранник (тетраэдр), ограниченный четырьмя правильными треугольниками; восьмигранник (октаэдр), ограниченный восьмью правильными треугольниками; двадцатигранник (икосаэдр), ограниченный двадцатью правильными треугольниками; шестигранник (гексаэдр), ограниченный шестью квадратами (куб); двенадцатигранник (додекаэдр), ограниченный двенадцатью правильными пятиугольниками.
Лекция №3
Исторический очерк обоснования геометрии.
Лекция №4
Исторический очерк обоснования геометрии.
Лекция № 5
Исторический очерк обоснования геометрии.
Лекция № 6
Исторический очерк обоснования геометрии.
– Конец работы –
Используемые теги: Лекция, Аксиоматический, метод0.059
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Лекция №1 АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД
Если этот материал оказался полезным для Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов