Реферат Курсовая Конспект
Система двух взаимно перпендикулярных плоскостей - раздел Философия, Т.В. Хрусталева НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Обратимость Чертежа, Как Об Этом Говорилось Ранее, Т. Е. Однозначное Определе...
|
Обратимость чертежа, как об этом говорилось ранее, т. е. однозначное определение положения точки в пространстве по ее проекциям, может быть обеспечена проецированием на две взаимно перпендикулярные плоскости проекций.
1. Пространство делится на четверти двумя взаимно-перпендикулярными плоскостями.
2. Для получения изображения объекта на плоскости выбирается ортогональное (прямоугольное) проецирование.
3. Для преобразования изображений, полученных на взаимно перпендикулярных плоскостях, изображение на одну плоскость, следует считать неподвижным (плоскость p 2), а плоскость p 1 – вращающейся вокруг оси до совмещения с плоскостью p 2.
Рассмотрим две взаимно перпендикулярные плоскости проекций (рис. 2.1).
Плоскость p 1, расположенную горизонтально, называют горизонтальной плоскостью проекций, вертикальную плоскость p 2 – фронтальной плоскостью проекций. Х – линия пересечения плоскостей проекций, которую называют осью проекций. Ось проекций делит каждую плоскость на две полуплоскости: p 1 – положительную и отрицательную, p 2 – положительную и отрицательную. Плоскости делят окружающее пространство на четыре четверти – I, II, III, IV (рис. 2.1 и 2.2).
Рис. 2.1 | Рис. 2.2 |
§ 2. Точка в системе двух плоскостей проекций p 1 и p 2
Построение проекций точки (и любого геометрического образа) в системе двух взаимно перпендикулярных плоскостей проекций осуществляется ортогональным проецированием на каждую плоскость.
Рассмотрим построение проекций некоторой точки А, расположенной в первой четверти системы p1/p2 (рис. 2.3). Проведя из А перпендикуляры (проецирующие лучи из бесконечно удаленных центров S1 и S2) к плоскостям проекций p1 и p2, получаем проекции точки А: горизонтальную проекцию А1, и фронтальную проекцию А2.
Если спроецировать отрезки лучей АА1 из центра S2 и АА2 из центра S1 , то получаем две взаимно перпендикулярные прямые А2Ах и А1Ах, соответственно. Эти прямые принято называть линиями связи проекций.
Таким образом, точка А в пространстве характеризуется двумя проекциями А2 и А1 на плоскости p 1/p 2 и двумя линиями связи А2Ах и А1Ах (рис. 2.4).
Рис. 2.3 | Рис. 2.4 |
Проверим, верна ли обратная задача.
Если даны проекции А1, А2 некоторой точки А, то определяют ли они положение точки в пространстве (рис. 2.4).
Решение:
1. Проведем из точки А1 перпендикуляр к плоскости p 1 (рис. 2.5).
2. Проведем из точки А2 перпендикуляр к плоскости p 2 (рис. 2.6).
3. Фигура АА1АхА2 имеет:
Рис. 2.5 | Рис. 2.6 |
Следовательно, точка А есть точка, принадлежащая двум пересекающимся перпендикулярам, лежащим в одной плоскости, и она единственная.
Таким образом, доказано, что две проекции определяют положение точки в пространстве.
§ 3. Образование комплексного чертежа (эпюра)
Для удобства пользования полученными изображениями от пространственной системы плоскостей перейдем к плоскостной.
Для этого:
1. Применим способ вращения плоскости p1 вокруг оси Х до совмещения с плоскостью p2 (рис. 2.7)
2. Совмещаем плоскости p1 и p2 в одну плоскость чертежа (рис. 2.8)
Рис. 2.7 | Рис. 2.8 |
Проекции А1 и А2 располагаются на одной линии связи перпендикулярной оси Х. Эта линия называется линией проекционной связи (рис. 2.9).
Рис. 2.9
Так как плоскость проекций считается бесконечной в пространстве, то границы плоскости p1, p2 можно не изображать (рис. 2.10).
Рис. 2.10
В результате совмещения плоскостей p1 и p2 получается комплексный чертеж или эпюр (от франц. epure чертеж), т.е. чертеж в системе p1 и p2 или в системе двух плоскостей проекций. Заменив наглядное изображение эпюром, мы утратили пространственную картину расположения плоскостей проекций и точки. Но эпюр обеспечивает точность и удобоизмеряемость изображений при значительной простоте построений. Чтобы представить по эпюру пространственную картину, требуется работа воображения: например, по рис. 2.11 надо представить картину, изображенную на рис. 2.12.
При наличии на комплексном чертеже оси проекций по проекциям А1 и А2 можно установить положение точки А относительно p1 и p2 (см. рис. 2.5 и 2.6). Сравнивая рис. 2.11 и 2.12 нетрудно установить, что отрезок А2 АХ – расстояние от точки А до плоскости p1, а отрезок А1АХ – расстояние от точки А до p2. Расположение А2 выше оси проекций означает, что точка А расположена над плоскостью p1. Если А1 на эпюре расположена ниже оси проекций, то точка А находится перед плоскостью p2. Таким образом, горизонтальная проекция геометрического образа определяет его положение относительно фронтальной плоскости проекций p2, а фронтальная проекция геометрического образа – относительно горизонтальной плоскости проекций p1.
Рис. 2.11 | Рис. 2.12 |
§ 4. Характеристика положения точки в системе p 1 и p 2
Точка, заданная в пространстве, может иметь различные положения относительно плоскостей проекций (рис. 2.13).
Рис. 2.13
Рассмотрим возможные варианты расположения точки в пространстве первой четверти:
1. Точка расположена в пространстве I четверти на любом расстоянии от оси Х и плоскостей p 1p 2, например точки А, В (такие точки называются точками общего положения) (рис. 2.14 и рис. 2.15).
Рис. 2.14 | Рис. 2.15 |
2. Точка С принадлежит плоскости p2, точка D – плоскости p1 (рис. 2.16 и рис. 2.17)
Рис. 2.16 | Рис. 2.17 |
3. Точка K принадлежит одновременно и плоскости p1 и p2, то есть принадлежит оси Х (рис. 2.18):
Рис. 2.18
На основании вышеизложенного можно сделать следующий вывод:
1. Если точка расположена в пространстве I четверти, то ее проекция А2 расположена выше оси Х, а А1 – ниже оси Х; А2А1 – лежат на одном перпендикуляре (линии связи) к оси Х (рис. 2.14).
2. Если точка принадлежит плоскости p2, то ее проекция С2 С (совпадает с самой точкой С) а проекция С1 Х (принадлежит оси Х) и совпадает с СХ: С1 СХ.
3. Если точка принадлежит плоскости p1, то ее проекция D1 на эту плоскость совпадает с самой точкой D D1, а проекция D2 принадлежит оси Х и совпадает с DХ: D2 DХ.
4. Если точка принадлежит оси Х, то все ее проекции совпадают и принадлежат оси Х: К К1 К2 КХ.
Задание:
1. Дать характеристику положения точек в пространстве I четверти (рис. 2.19).
Рис. 2.19
2. Построить наглядное изображение и комплексный чертеж точки по описанию:
а) точка С расположена в I четверти, и равноудалена от плоскостей p1 и p2.
б) точка М принадлежит плоскости p2.
в) точка К расположена в первой четверти, и ее расстояние до p1 в два раза больше, чем до плоскости p2.
г) точка L принадлежит оси Х.
3. Построить комплексный чертеж точки по описанию:
а) точка Р расположена в I четверти, и ее расстояние от плоскости p2 больше, чем от плоскости p1.
б) точка А расположена в I четверти и ее расстояние до плоскости p1 в 3 раза больше, чем до плоскости p2.
в) точка B расположена в I четверти, и ее расстояние до плоскости p1=0.
4. Сравнить положение точек относительно плоскостей проекций p1 и p2 и между собой. Сравнение ведется по характеристикам или признакам. Для точек эти характеристики есть расстояние до плоскостей p1; p2 (рис. 2.20).
Рис. 2.20
Применение вышеизложенной теории при построении изображений точки может быть осуществлено различными способами:
Умение переводить информацию с одного способа на другой способствует развитию пространственного мышления, т.е. с вербального в наглядное (объемное), а затем в плоскостное, и наоборот.
Рассмотрим это на примерах (табл. 2.1 и табл. 2.2).
Таблица 2.1
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
Оглавление... Предисловие... Введение Общие требования и методические рекомендации по изучению курса начертательная геометрия...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Система двух взаимно перпендикулярных плоскостей
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов