Достаточное условие экстремума функции

Рассмотрим на рис. 9 поведение функции f(х) в двух точках x₃ и х₄. В точке х₄ функция меняет характер монотонности (с возрастания на убывание), т.е. производная слева от х₄ положительна, а справа – отрицательна.

В точке x₃ = 0 функция характер монотонности не меняет, слева и справа от стационарной точки функция возрастает, и ее производная сохраняет положительный знак.

Теорема 2 (достаточное условие extr). Если непрерывная функция f(x) дифференцируема в некоторой δ-окрестности критической точки х₀ и при переходе через нее слева направо производная f’(x) меняет знак с плюса на минус, то точка х₀ есть точка максимума, а при смене знака с минуса на плюс – точка минимума (рис. 10).

Рис. 10

Доказательство. По условию теоремы функция f(x) – непрерывна в точке х₀. Пусть во всех точках х < х₀ некоторой δ-окрестности точки х₀ выполняется f’(x) > 0, а при всех х > х₀, достаточно близких к х₀, f’(x) < 0, т.е. f’(x) меняет свой знак с плюса на минус при переходе через точку х₀.

Применим к функции f(x) на отрезке [х; х₀] теорему Лагранжа:

f(х) – f(х₀) = f'(с) (х – х₀).

Возьмем слева вблизи х₀ значения х < х₀. Тогда при (х – х₀) < 0 и f'(с) > 0 будет f(х) – f(х₀) = f'(с) (х – х₀) < 0 или f(х) < f(х₀).

Для значений х > х₀ (справа вблизи х₀) при (х – х₀) > 0 и f'(с) < 0 будет

f(х) – f(х₀) = f'(с) (х – х₀) < 0 или f(х) < f(х₀).

Таким образом, выявилась окрестность точки х₀, в которой для всех x ≠ x₀ выполняется f(х) < f(х₀). Значит, х₀ есть точка max.

Для точки min доказательство аналогичное.

Исследовать функцию на экстремум означает найти все ее экстремумы. Из теорем 1 и 2 вытекает правило исследования функции на extr:

1) найти критические точки функции f(х);

2) выбрать лишь те из них, которые являются внутренними точками области определения функции;

3) исследовать знак производной f’(x) слева и справа от каждой из выбранных критических точек;

4) в соответствии с теоремой 2 (достаточное условие экстремума) выписать точки extr (если они есть) и вычислить значения функции в них.

Пример. Определить экстремум функции у = х³ – 3х² + 2 и найти ее наименьшее и наибольшее значение на отрезке [-0,5; 4].

Областью определения функции является вся числовая ось (-∞,+∞). Находим производную у’(х) = 3х² – 6х. Для нахождения стационарных точек приравниваем производную нулю: 3х² – 6х = 3х (х – 2) = 0. Решаем это уравнение и получаем стационарные точки х₁ = 0, х₂ = 2. Нанесем их на числовую ось, разбив отрезок [-0,5; 4] на интервалы (-0,5; 0), (0; 2), (2; 4) и определим в каждом из них знак производной у’ = 3х (х – 2).

Для определения знака производной подставляем в производную какую-нибудь пробную точку из рассматриваемых интервалов. На интервале (-0,5; 0) производная f’(х) > 0 (функция возрастает); на интервале (0; 2) f’(х) < 0 (функция убывает); на интервале (2; 4) f’(х) > 0 (функция возрастает).

Таким образом, переходя через точку x = 0, производная меняет знак с плюса на минус, т.е. стационарная точка х = 0 – точка максимума; в точке x = 2 производная меняет знак с минуса на плюс, т.е. x = 2 – точка минимума.

Вычислим значения функции в точках х_min и х_max, подставив x = 2 и x = 0 в уравнение у = х³ – 3х² + 2.

Получим х_max = 0, у_max = у(0) = 2; x_min = 2, у_min = у(2) = -2. Итак, мы определили локальные экстремумы.

Правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции (глобальных экстремумов) на отрезке [а, b]:

1. Находим критические точки (все стационарные точки и точки, в которых производная не существует) и вычисляем в них значения функции.

2. Вычисляем значения функции на концах отрезка, т.е. в точках х=а, х=b.

3. Сравнивая между собой вычисленные значения функции, выбираем наибольшее и наименьшее.

Значения в стационарных точках вычислены, подсчитаем значения функции на концах отрезка [-0,5; 4], т.е. в точках х = -0,5 и x = 4:

у(-0,5) = (-0,5)³ – 3∙(-0,5)² + 2 = 9/8 = 1,125;

у(4) = 4³ – 3·4² + 2 = 18.

Сравнивая значения функции у(-0,5), y(0), у(2), y(4), получаем, что наибольшее значение достигается на правом конце y(4) = 18, а наименьшее – в точке локального минимума y(2) = -2.

Иногда бывает удобным использовать другой достаточный признак существования экстремума, основанный на вычислении знака 2-й производной.

Теорема 3. (достаточное условие экстремума). Если в точке х₀ первая производная функции f(x) равна нулю (f’(x₀) = 0), а вторая производная в точке х₀ существует и отлична от нуля (f''(x₀) ≠ 0), то при f''(x₀) < 0 в точке х₀ функция имеет максимум, а при f''(x₀) > 0 – минимум.

Доказательство. Пусть для определенности f''(x₀) > 0.

Так как , то в достаточно малой окрестности точки x₀.

Если Δх < 0, то f'(x₀ + Δх) < 0,

если Δх > 0, то f'(x₀ + Δх) > 0,

т.е. при переходе через точку x₀ первая производная меняет знак с минуса на плюс. Следовательно, по теореме 2, x₀ – точка минимума.

Аналогично даказывается, что если f''(x₀) < 0, то х₀ – точка максимума.