Реферат Курсовая Конспект
Общее исследование функции - Лекция, раздел Науковедение, Лекция 7. Исследование функций План Общего Исследования Функции И Построения Графика: 1. Обл...
|
План общего исследования функции и построения графика:
1. Область определения функции.
2. Определение четности, нечетности, периодичности функции.
3. Точки пересечения графика с осями координат и интервалы знакопостоянства функции.
4. Поведение функции на границах области определения. Точки разрыва функции и интервалы непрерывности.
5. Построение вертикальных и наклонных асимптот графика.
6. Экстремумы функции и интервалы монотонности.
7. Интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба графика.
8. Определение некоторых значений функции для некоторых значений х.
9. Построение графика.
Пример. Исследовать функцию и построить ее график.
1. Функция определена на всей числовой оси, за исключением точки x = 1, где знаменатель дроби обращается в нуль. .
2. , т.е. функция общего вида.
3. Точки пересечения координатных осей: (0; 9), (3; 0).
4. Точка x = 1 является точкой разрыва функции (в ней функция не определена). Интервалы непрерывности: (-∞; 1) и (1; +∞).
Определим поведение функции на границах D(f).
Найдем пределы f(x) при (слева и справа):
, .
Точка x = 1 является точкой разрыва 2-го рода.
Определим поведение функции при x → ±∞:
.
5. Если функция непрерывна на всей числовой оси, кроме точки x = 1, в которой функция имеет бесконечный разрыв, то прямая x = 1 является для графика функции вертикальной асимптотой.
Найдем наклонную асимптоту в виде у = kх + b.
.
Наклонная асимптота графика y = – x + 5.
6. Найдем первую производную
.
Найдем стационарные точки, т.е. приравняем у’=0. Получим
, x1 = 3, x2 = -1.
Точка x = 1 – критическая, так как в ней производная не существует.
Определим смену знака производной при переходе через эти точки.
Таким образом, х = -1 – точка min, у(-1) = 8 – минимум функции;
x = 3 – точка max, у(3) = 0 – максимум функции.
7. Вычислим вторую производную у″:
.
Вторая производная в нуль не обращается, а через точку х = 1 график не проходит, поэтому точек перегиба график не имеет.
На интервале (-∞,1) у″ > 0, и график выпуклый вниз, на интервале (1,+∞) у″ < 0, и график – выпуклый вверх.
График изображен на рис. 21.
Рис. 21
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
На сайте allrefs.net читайте: Лекция 7. Исследование функций.
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Общее исследование функции
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов