ПРЕДЕЛЫ

Число а называется пределом последовательности если для всякого сколь угодно малого положительного числа ε найдётся такое положительное число N, что при n > N.

Число A называется пределом функции f(x) при x → a, если для любого сколь угодно малого ε > 0 найдётся такое δ > 0, что ׀f(x) – A׀ < ε при
.

где M – произвольное положительное число .

В этом случае функция f(x) называется бесконечно большой величиной при x → a.

величиной при x → a.

Если x < a и x → a, то условно пишут x → a – 0; если x > a и x → a, то пишут x → a + 0.

делом функции f(x) в точке a.

Практическое вычисление пределов основывается на следующих теоремах.

4)

5) при ()

Используются также первый и второй замечательные пределы:

1)

2)

Логарифм числа x по основанию e называется натуральным логарифмом и обозначается ln x.

При решении примеров полезно иметь в виду следующие равенства:

Пример 9. Показать, что при n→∞ последовательность имеет пределом число 2.

Решение. Здесь n–й член последовательности . Следовательно, . Зададим заранее положительное число ε. Выберем n настолько большим, что будет выполняться неравенство 1/n < ε. Для этого достаточно принять n > 1/ε. При таком выборе n будем иметь . Следовательно, .

Пример 10. Показать, что при n → ∞ последовательность 7/3, 10/5,

13/7, . . . , (3n + 4) /(2n + 1), . . . имеет пределом число 3/2.

Решение. Здесь 3/2 = (3n + 4) /(2n + 1) – 3/2 = 5/ . Определим, при каком значении n выполняется неравенство

5/ ; так как 2(2n + 1) > 5/ε, то n > 5/4ε – 1/2.

Положив ε = 0,1, заключаем, что неравенство выполняется при n > 12 (например, при n = 13).

Неравенство выполняется при n > 124,5 (например, при n = 125).

Неравенство выполняется при n > 1249,5 (например, при n = 1250).

Пример 11.

Решение. Так как x → 4, то числитель дроби стремится к числу

5 · 4 + 2 = 22, а знаменатель к числу 2 · 4 + 3 = 11.

Пример 12.

Решение. Числитель и знаменатель дроби безгранично возрастают при

x → ∞. В таком случае говорят, что здесь имеет место неопределённость вида .

Разделив на x числитель и знаменатель дроби, получаем

Пример 13.

Решение. Здесь числитель и знаменатель дроби стремятся к нулю при

x → 3 (принято говорить, что получается неопределённость вида .

Пример 14.

Решение. Разложим на множители числитель и знаменатель дроби:

Пример 15.

Решение. Имеем

Числитель дроби стремится к 300, а знаменатель стремится к нулю, т.е. является бесконечно малой величиной, следовательно, рассматриваемая дробь –бесконечно большая величина и

Пример 16.

Решение. Умножим числитель и знаменатель дроби на сумму

:

Пример 17.

Решение. Положим , тогда

Пример 18.

Решение. Имеем

 

Пример 19.

Решение. Имеем

Здесь мы воспользовались результатом предыдущего примера, приняв

Пример 20.

Решение. Разделим числитель и знаменатель дроби на старшую степень x, т.е. на :

Пример 21.

Решение. Разделим числитель и знаменатель на :

Пример 22.

Решение. Умножим и разделим рассматриваемое выражение на

:

Пример 23.

Решение. Делением числителя дроби на знаменатель выделим целую часть:

Таким образом,

так как

то

Приняв во внимание, что

Пример 24. Найти левый и правый пределы функции

при x → 3.

Решение.

 

Пример 25. Найти левый и правый пределы функции при

x → a.

Решение.