НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ

 

Функция f(x) называется непрерывной в точке а, если: 1) эта функция определена в некоторой окрестности точки а; 2) существует ; 3) этот предел равен значению функции в точке а, т.е.

 

 

Обозначая (приращение аргумента) и (приращение функции), можно условие непрерывности записать так:

тогда, когда в этой точке бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Если функция непрерывна в каждой точке некоторой области (интервала, сегмента и т.п.), то она называется непрерывной в этой области.

Точка а, принадлежащая области определения функции или являющаяся граничной для этой области, называется точкой разрыва, если в этой точке нарушается условие непрерывности функции.

Если существуют конечные пределы:

 

 

причём не все три числа равны между собой, то а называется точкой разрыва I рода.

В частности, если левый и правый пределы функции в точке а равны между собой: , но не равны , то а называется устранимой точкой разрыва.

Точки разрыва, не являющиеся точками разрыва I рода, называются точками разрыва II рода. В точках разрыва II рода не существует хотя бы один из односторонних пределов.

Сумма и произведение конечного числа непрерывных функций есть функция непрерывная.

Частное от деления двух непрерывных функций есть функция непрерывная во всех точках, где делитель не равен нулю.

Пример 26.

Решение. Находим

Таким образом, функция при не имеет ни левого, ни правого конечного предела. Следовательно, является точкой разрыва II рода (рис. 4).

Пример 27.

Решение.

Итак, при функция имеет левый и правый конечные пределы, причём эти пределы различны. Следовательно, является точкой разрыва I рода.

 

Рис. 4 Рис. 5

 

Разность между правым и левым пределом в точке разрыва I рода

(рис. 5).

Пример 28.

Решение. В точке функция не определена, так как, выполнив

может быть сокращена на , так как . Следовательно, при

Легко видеть, что

Таким образом, при функция имеет устранимый разрыв. Он будет устранён, если условиться, что при

при всех значениях x, не исключая и . В этом случае графиком функции будет прямая линия .

Пример 29. Доказать, что функция непрерывна в точке .

Решение. Находим

.

 

Значит, функция непрерывна в точке .

Пример 30. Исследовать на непрерывность функцию

и изобразить график функции в окрестностях точки разрыва.

Решение. Знаменатель при обращается в ноль, и значит, при не существует. Следовательно, точка разрыва функции.

Для определения типа разрыва надо найти пределы функции слева и справа при .

 

Таким образом, пределы функции слева и справа при равны между собой, но в точке функция не определена, значит, имеем устранимый разрыв. График функции в окрестности точки разрыва изображён на рис. 6

 

Рис. 6

 

Доопределив функцию в точке , положив , получим непрерывную функцию