Последовательность выполнения расчетно-проектировочной работы.

 

В процессе выполнения данной расчетно-проектировочной работы требуется:

1) Найти нормальную и касательную составляющие напряжений на площадке с заданной ориентацией (с заданными направляющими косинусами l m, n),

2) Определить величину и направление главных напряжений;

3) Найти величину наибольших касательных напряжений в данной точке тела и указать площадки, по которым они действуют;

4) Найти нормальные и касательные напряжения на октаэдрических площадках и указать их расположение;

5) Построить для заданного напряженного состояния круги Мора и указать на них точки, изображающие напряженное состояние на площадках, на которых напряженное состояние задано или определилось в процессе выполнения работы (площадках с нормалями x, y, z ; площадке с нормалью n, заданной направляющими косинусами /, т, n; октаэдрической площадке; площадках с максимальными касательными напряжениями; главных площадок);

6) Определить компоненты деформаций в заданных и главных осях;

7) Разложить заданный тензор напряжения на два — шаровой и девиатор;

8) Найти удельную потенциальную энергию деформации (полную, изменения объема, изменения формы);

9) Определить расчетные напряжения по четырем классическим критериям прочности и пластичности.

 

3. Определение нормальной и касательной составляющих напряжения на площадке с заданной ориентацией.

Напряжения на площадке, нормаль к которой n имеет направляющие косинусы I, m, n, определяются из условий равновесия тетраэдра, отсекаемого этой площадкой с нормалью от элементарного параллелепипеда с гранями, загруженными заданными компонентами напряжения.

Составляющие вдоль осей x, y, z полного напряжения на площадке с нормалью n определяются зависимостями :

Формула 1

Полное напряжение на площадке с нормалью n:

Формула 2

Нормальное и касательное напряжение на площадке с нормалью n:

Формула 3

Формула 4

 

Подставляя в зависимости (1) - (4) исходные данные, получаем составляющие вдоль осей x. y. z полного напряжения на площадке с нормалью n:

 

 

 

полное напряжение на той же площадке:

 

 

 

Нормальное и касательное напряжение на площадке с нормалью n:

 

 

 

4. Определение величины и направления главных напряжений.

Рассмотрим равновесие тетраэдра, ограниченного главной площадкой с нормалью n и тремя взаимно ортогональными площадками с нормалями x, y, z, на которых компоненты напряжения заданы.

Так как площадка с нормалью v главная, то на ней t_Y ⁼ 0; р_n= s, где s – одно из главных напряжений р_nx=sl; р_ny=sm; р_nz=sn. Уравнения равновесия этого тетраэдра принимают вид

Формула 5

Кроме того, направляющие косинусы l, m , n связаны между собой зависимостью

 

В уравнениях (5) и (6) входят четыре неизвестных — направляющие косинусы l, m, n и главное напряжение а. Так как согласно (6)l, m, n одновременно не могут обратиться в нуль, то, как известно из высшей алгебры, должен быть равен нулю определитель из коэффициентов системы (5):

 

Раскрывая этот определитель, приходим к кубическому уравнению:

Формула 7

где:

Формула 8

Величины I₁; I₂, I₃ называются инвариантами напряженного состояния, так они не зависят от выбора координатных осей.

 

4.1 .Определение величины главных напряжений.

 

Для отыскания величин главных напряжений необходимо решить кубическое уравнение (7). По зависимостям (8) вычисляем инварианты напряженного состояния:

 

 

 

Кубическое уравнение (7) принимает вид:

=0

 

Кубическое уравнение (7) решаем с помощью формулы Корно:

 

 

Это кубическое уравнение имеет 3 действительных корня, если выполняется неравенство:

 

Где D<0 (10)

 

Тогда решение запишется:

 

 

 

(11)

 

 

Где

 

(12)

 

 

Кубическое уравнение (7) можно привести к виду (9) посредством замены переменной

 

 

Тогда

 

 

Подставляя полученные выше значения инвариантов напряжения находим:

 

 

 

 

Затем проверим условия (10) и (12):

<0

<0

 

Оба условия выполнены. Значит, можно воспользоваться решением Корно.

 

 

 

По формулам (11) находим корни уравнения кубического уравнения (9):

 

 

 

 

 

Найдем искомые значения главных напряжений:

 

 

 

 

 

 

 

В соответствии с правилом :

 

 

Наибольшему по алгебраической величине из этих напряжений присвоим индекс 1 и так далее. Тогда

 

 

 

 

 

 

Проверка:

 

 

 

 

Проверка выполняется