Определение максимальных касательных напряжений.

Наибольшие касательные напряжения действуют по площадкам, наклоненным под углом 45° между каждой парой главных площадок (см. рис. 3). Величины наибольших касательных напряжений определяются по формулам:

 

t₁₃=(37,579 -(-72,242))/2=54,911 МПа

t₁₂=(37,579 –(-65,337))/2=51,458 МПа

t₂₃=(721,741-(-72,242))/2=3,453 МПа

t_MAX=t₁₃=54,911 МПа

 

6. Определение октаэдрических площадок.

Площадки равно наклоненные к трем главным площадкам , называются октаэдрическими. Нормальное и касательное напряжения на этих площадках определяются по формулам

или

или

В нашем случае:

 

 

 

 

 

2.7. Построение кругов Мора.

В координатах s и t построим круги Мора для исследуемого объемного напряженного состояния. Отложим в осях s и t точки, изображающие напряженное состояние на главных площадках: K₁ (s₁, 0) = K₁(37,579; 0); K₂(s₂, 0) = K₂(-65,337; 0); K₃(s₃, 0) = K₃(-72,242; 0) (рис.4).

 

Рис. 3 – Круги Мора

 

 

На отрезках K₁K₃, K₁K₂, K₂K₃, как на диаметрах построим окружности — это и есть круги Мора для заданного напряженного состояния.

Напряженное состояние на любой площадке, проходящей через заданную точку тела, изображается точками, которые лежат внутри заштрихованной области.

Нанесем на круги Мора точки, изображающие напряженное состояние на площадках с нормалями x, y, z. Для этого на этих площадках найдем полные касательные напряжения:

 

 

 

 

Координаты точек, изображающих напряженное состояние на площадках, перпендикулярных осям x, y, z:

K_X=(s_X;t_X)=K_X (-55;31,623); K_Y=(s_Y,t_Y)=K_Y (20;39,051);

K_Z=(s_Z,t_Z)=K_Z (-65;26,926);

 

Координаты точки, изображающей напряженное состояние на октаэдрической площадке:

 

K_ОКТ=(s_ОКТ,t_ОКТ)=K_ОКТ (-33,333; 50,222)

 

 

Точки, изображающие напряженное состояние на площадках с наибольшими касательными напряжениями K₁₂, К₂₃, K₁₃, расположены на концах вертикальных диаметров кругов Мора. Все нанесенные в масштабе точки, изображающие напряженное состояние на всех рассматривавшихся площадках, действительно расположились внутри заштрихованной области (рис. 3).

 

8. 0пределение компонент тензора деформации в заданных и главных осях и относительного изменения объема.

 

Тензор деформации в заданных осях имеет вид:

Формула 23

Его компоненты находим по формулам обобщенного закона Гука в поизвольных осях:

 

Формула 24

где G — модуль упругости при сдвиге;

 

 

 

В этом случае

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тензор деформации в главных осях:

Формула 25

где e₁, e₂, e₃ — главные деформации, определяемые по формулам

Формула 26

В этом случае

 

 

 

 

 

 

Проверка: e_X + e_Y + e_Z = e₁ + e₂ ⁺ e₃ — первый инвариант деформированного состояния.

((-6,379)+6,8+(-8,136))*10^-10=(9,889+(-8,195)+(-9,408))*10^-10

-7,715*10^-10=-7,715*10^-10

Относительное изменение объема определяется по формуле:

Формула 27

И составляет -7,715*10^-10