Определение ориентации главных площадок.

Положение главных площадок определяется направляющими косинусами нормалей к главным площадкам.

Для отыскания направляющих косинусов нормали к i-той главной площадке (i=1,2,3) используем систему уравнений (5) и (6), подставив в нее s=s_i.

Тогда направляющие косинусы принимают значение l_i, m_i, n_i.

 

Из трех уравнений (5) выберем любые два. Делим эти уравнения на n_i и вводим обозначения

Формула 9

Получаем

Формула 10

отсюда

Тогда из (6) и (9):

При s_i=s₁=37,579 МПа

 

 

 

 

 

 

Проверка:

l²+m²+n²=1

(-0,323)*(-0,323)+(-0,912)*(-0,912)+0,254*0,254=1

Равенство выполнено.

При s_i=s₂=-65,337 МПа

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Проверка:

l²+m²+n²=1

(-0,916)*(-0,916)+0,369*0,369+0,159*0,159=1

Равенство выполнено

При s_i=s₃=-72,242 МПа

 

 

 

 

 

 

 

Проверка:

l²+m²+n²=1

0,238*0,238+0,181*0,181+0,954*0,954=1

Равенство выполнено.

 

Сведем найденные значения в таблицу 1.

 

I
li	-0,323	-0,916	0,238
mi	-0,912	0,369	0,181
ni	0,254	0,159	0,954

Таблица 1

 

Сделаем следующие 3 проверки, подтверждающие взаимную ортогональность главных площадок:

l₁*l₂+m₁*m₂+n₁*n₂=0

(-0,323)*( -0,916)+( -0,912)* 0,369+0,254*0,159=0

 

l₁*l₃+m₁*m₃+n₁*n₃=0

(-0,323)*0,238+(-0,912)* 0,181+0,254*0,954=0

 

l₂*l₃+m₂*m₃+n₂*n₃=0

(-0,916)* 0,238+0,369*0,181+0,159*0,954=0

 

Можно сделать вывод, что взаимная ортогональность нормалей к главным площадкам этими проверками подтверждается.

Чтобы изобразить графически положение в пространстве параллелепипеда, гранями которого являются главные площадки, надо произвести следующее построение.

	σ

 

σ

σ

 

Рис. 2 – Графическое построение главных площадок.

В осях x, y, z по заданным направляющим косинусам (табл. 1) строим нормали к главным площадкам, взяв за исходную точку начало координат. Для построения i-той нормали достаточно вдоль осей x, y, z отложить в некотором масштабе отрезки, равные направляющим косинусам I_i, m_i, n_i и точку с такими координатами соединить с центром О (рис. 2). Его грани и будут главными площадками с напряжениями s₁, s₂, s₃.