Постановка задачи оценивания законов и параметров распределения случайных величин

Пусть – случайная величина, характеризующая свойство исследуемого объекта. Требуется на основе случайной выборки , ,…,выработать объективное суждение о вероятностных свойствах случайной величины .

Как было указано в § 1.3, любая функция случайной выборки

(3.1.1)

называется статистикой. Если статистика (3.1.1) используется в качестве приближения неизвестной вероятностной характеристики (закона или параметра распределения) случайной величины, то её значение

, (3.1.2)

полученное в результате обработки экспериментальных данных по формуле (3.1.2), называется оценкой этой характеристики.

Известно, что исчерпывающей характеристикой вероятностного поведения случайной величины является закон её распределения или . Поэтому основной целью в рассматриваемой здесь задаче является построение закона распределения случайной величины по экспериментальным данным, т.е. его представление как функции выборки

,

которая может служить в качестве оценки функции , обладающей требуемой точностью и надёжностью (достоверностью).

В общем случае функция зависит как от своего аргумента, так и от параметров распределения:

.

Параметрическая обработка данных опирается на предположение о том, что класс распределений, которому принадлежит функция , априорно известен. Конкретные значения параметров A_<m> этого распределения, выделяющие его в рассматриваемом классе, неизвестны. Тогда оценивание функции сводится к оцениванию её параметров A_<m>, т.е. к отысканию такой статистики

,

которая обеспечивала бы приближённое равенство

.

Поскольку вся информация об исследуемом объекте содержится в выборке объёма n, то для однозначного решения задачи статистического оценивания m параметров требуется выполнение условия n > m.

В качестве критериев оценивания истинных значений характеристик используются соотношения следующего вида:

. (3.1.3)

или

(3.1.4)

где , – нижняя и верхняя границы интервалов; , – границы m-мерных областей.

Оценивание вероятностных характеристик в соответствии с критерием (3.1.3) называется точечным, а в соответствии с критерием (3.1.4) – интервальным. Строго говоря оценки всегда являются точечными. Что же касается интервальных оценок, то их назначение - характеризовать качество точечных оценок.

Предположим, что распределение однопараметрическое, т.е. A_<m> = A_<1> = a. Принятое допущение позволяет существенно повысить наглядность рассуждений, которые без затруднений распространяются на случай многопараметрического распределения. Кроме того, будем считать, что класс распределений, которому принадлежит функция , известно, но неизвестно значение параметра a. В этом случае задача оценивания функции распределения сводится к оцениванию параметра, т.е. к определению соотношения вида

,

где – оценка параметра a.

Поскольку результаты наблюдений над случайной величиной априори являются случайными, то случайной оказывается и оценка :

.

В общем случае ¹ a, следовательно, и после получения оценки параметра a его неопределённость для исследователя полностью не снимается. В то же время исследователь даёт вероятностное суждение об истинном значении a согласно результату эксперимента так, чтобы соответствовать ему наилучшим (в некотором смысле) образом. Оценка будет объективной характеристикой параметра, если она удовлетворяет требованиям несмещённости, состоятельности и эффективности.

Оценка параметра a называется несмещённой, если её математическое ожидание равно оцениваемому параметру:

. (3.1.5)

Если , то оценка называется смещённой.

Оценка параметра a называется состоятельной, если она сходится по вероятности к оцениваемому параметру:

, (3.1.6)

где n – объём выборки.

Очевидно, что состоятельной может быть только несмещённая оценка. Поскольку согласно известному неравенству Чебышева

,

то из выражений (3.1.5) и (3.1.6) следует, что

,

т.е. с ростом объёма выборки дисперсия состоятельной оценки стремится к нулю, и наоборот, если с ростом n дисперсия стремится к нулю, то оценка состоятельная.

Несмещённая оценка[1] параметра a называется эффективной, если её дисперсия минимальна:

, (3.1.7)

где – оценка параметра a с помощью статистики k-го вида.

Если равенство (3.1.7) выполняется только в пределе при n ® ¥, то соответствующая оценка называется асимптотически эффективной. Из последнего определения следует, что состоятельная оценка асимптотически эффективна.

Оценки, удовлетворяющие всем трём перечисленным требованиям, называются подходящими значениями оцениваемых параметров. На практике достичь совместного выполнения всех трёх условий (3.1.5), (3.1.6) и (3.1.7) удаётся не всегда, так как формулы для вычисления эффективной и несмещённой оценки могут оказаться слишком сложными. Поэтому для упрощения расчётов нередко используются незначительно смещённые и не вполне эффективные оценки. Однако, выбор той или иной оценки должен опираться на её критическое рассмотрение со всех указанных выше точек зрения.

Следует отметить, что определение эффективной оценки имеет аналитическое выражение (3.1.7) лишь в случае оценивания единственного параметра распределения . Если число m оцениваемых параметров (a₁, a₂,…, a_m)^Т = A_<m> больше единицы, то в качестве характеристики рассеяния их оценок должна использоваться обобщённая дисперсия

. (3.1.8)

В правой части соотношения (3.1.8) определитель корреляционной матрицы вектора оценок параметров A_<m>. Более полное раскрытие понятия обобщённой дисперсии можно найти, например, в монографии [6].

Ещё раз подчеркнём, что следует различать две фазы оценивания вероятностных характеристик случайных объектов: априорную (доопытную) и апостериорную (послеопытную). На первой фазе оценки рассматриваются как функции случайной выборки и, следовательно, сами случайны. На второй фазе они не случайны, так как представляют собой функции выборки (реализации случайной выборки), элементы которой не случайны. Очевидно, что все требования к оценкам как законов, так и параметров распределения случайной величины предъявляются на первой фазе их оценивания, т.е. априори.