Оценивание вероятности случайного события

В результате реализации определённого комплекса условий может произойти некоторое случайное событие , вероятность появления которого неизвестна. Требуется по результатам наблюдений данного события в некотором эксперименте оценить вероятность р.

Для решения поставленной задачи проводится серия n независимых и однородных испытаний – схема Бернулли, т.е. осуществляется n независимых реализаций одного и того же комплекса условий. Подсчитывается число m(A) = m испытаний, в которых событие A появилось. Отношение

(3.3.1)

называется частотой события А в серии n испытаний или его статистической вероятностью. Проанализируем свойства частоты p^* как оценки вероятности p.

1. Поскольку число появлений события А в n независимых и однородных испытаниях подчинено биномиальному закону распределения, то

. (3.3.2)

Из выражения (3.3.2) следует, что частота (3.3.1) является несмещённой оценкой вероятности p.

2. Согласно теореме Бернулли

, ,

т.е. частота p^* сходится по вероятности к вероятности р. Следовательно, рассматриваемая частота – это состоятельная оценка вероятности р.

3. Дисперсия частоты

, (3.3.3)

где q = 1– p. Из соотношения (3.3.3) вытекает, что при n ® ¥ дисперсия ® 0. Это означает асимптотическую эффективность указанной оценки. Можно показать, что при любом n дисперсия частоты - минимально возможная величина, следовательно, p^* является эффективной оценкой p.

Таким образом, частота p^* события А в серии n независимых однородных испытаний есть подходящее значение его вероятности, т.е. наилучшая точечная оценка.

Исследуем качество оценивания вероятности p по его частоте p^*. Итак, полагаем, что

.

Априори число случайно и подчинено биномиальному закону распределения с параметрами n, p. Согласно теореме Муавра-Лапласа при достаточно больших n (практически при np(1– p) > 9) биномиальное распределение может быть с достаточной точностью аппроксимировано нормальным распределением с параметрами , . В этом случае справедливо соотношение

.

Поскольку оценка связана с линейной зависимостью, она будет распределена приближённо нормально с параметрами

.

Тогда справедливо

. (3.3.4)

Так как закон распределения (3.3.4) оценки симметричен относительно оцениваемой вероятности p, доверительный интервал I_b,n(p) будет симметричен относительно оценки . Для определения данного интервала достаточно знать половину его длины, которая равна максимальной с доверительной вероятностью b(p) абсолютной погрешности e(p):

.

В результате доверительная вероятность для p будет определяться следующим равенством:

(3.3.5)

Разрешив уравнение (3.3.5) относительно e, получим

, (3.3.6)

откуда

. (3.3.7)

В выражении (3.3.6) величина t_b - квантиль нормированного нормального распределения:

или .

Значения функции t_b приведены в приложении 4.

Если необходимые точность e и надёжность b заданы, то потребное для их обеспечения число n_b,n испытаний находится из уравнения (3.3.6):

, (3.3.8)

Формулы (3.3.5) – (3.3.8) определяют решения трёх основных задач исследования качества статистического оценивания (см. § 3.2) применительно к оценке вероятности случайного события по его частоте в серии n независимых однородных испытаний.

Из соотношения (3.3.8) видно, что потребный объём выборки обратно пропорционален квадрату максимальной вероятной погрешности e оценки и пропорционален квадрату функции t_b, который растёт быстрее, чем b. Поэтому для оценивания вероятности случайного события по его частоте с достаточной точностью и надёжностью требуется проведение довольно длинной серии испытаний. Сказанное иллюстрируется табл.3.1, в которой приведены потребные числа n_0,95;e испытаний, обеспечивающие с доверительной вероятностью b = 0,95 необходимую точность e оценивания различных значений вероятности p.

Таблица 3.1

Зависимость числа испытаний от требуемой доверительной вероятности

e	р
0,9	0,8	0,7	0,6	0,5
0,05
0,01

Из табл.3.1 видно, что потребное число n_b;e испытаний растёт не только с увеличением неоходимой точности оценивания, но и с приближением истинного значения p оцениваемой вероятности к 0,5. Это объяснимо, поскольку при p = 0,5 дисперсия оценки = p^* достигает максимального значения, равного 0,25/n [см. формулу (3.3.3)]. Указанный факт используется для определения верхней границы потребного числа испытаний. Так, полагая p = 0,5, b = 0,95, имеем значение t_b = t_0,95 =1,96 » 2 (см. приложение 4). В соответствии с выражением (3.3.8) получаем

 

. (3.3.9)

 

Пример 3.1. В процессе эксперимента выполнено 200 опытов, частота события A оказалась p^* = 0,34.

1. Построить 85%-й доверительный интервал для вероятности события A.

2. Найти доверительную вероятность b для вероятности события A, если максимальная вероятная погрешность e_b = 0,1.

▼ 1) Для b = 0,85 в приложении 4 находим t_b = 1,439. Тогда по формуле (3.3.6) оценка максимальной вероятной ошибки составит

 

.

Находим доверительный интервал из соотношения (3.3.7)

I_{0,85; 200} » [0,34 – 0,048; 0,34 + 0,048] = [0,292; 0,388].

 

2) По формуле (3.3.5) находим доверительную вероятность

.

Значение функции Ф₀(x) взято из приложения 2.

▲

Пример 3.2. В процессе эксперимента выполняются опыты, частота события составляет p^* = 0,7.

1. Определить потребный объём выборки, чтобы максимальная вероятная погрешность оценки p^* составляла e £ 0,05 при доверительной вероятности b =0,9.

2. Найти верхнюю границу потребного числа опытов при любой частоте события .

▼ 1) По заданному b находим t_b = 1,643. Тогда в соответствии с формулой (3.3.8) потребный объём выборки составит

.

2) Из выражения (3.3.9) имеем

.

▲

 

 

[1] Для смещённой оценки понятие эффективности не определено.

[2] Символы ­, ¯ означают соответственно возрастание и убывание.