Качество статистического оценивания

Как отмечалось в § 3.1, при обработке данных принято различать точечное и интервальное оценивание вероятностных характеристик случайных объектов. Однако, строго говоря, собственно оценки , и т.п., представляющие практический интерес, могут быть только точечными и определяются приближёнными равенствами типа (3.1.3). Что касается оценок (3.1.4), то они оценивают не характеристики , A_<m>, а интервалы, в которых эти характеристики могут находиться, а могут и не находиться. Последнее утверждение обосновывается тем, что статистики , , , априори случайны (как функции случайных аргументов – элементов случайной выборки ). Поэтому ясно, что интервальное оценивание сугубо вероятностное и служит для характеристики качества точечного оценивания. Компонентами, которые характеризуют это качество, являются точность и надёжность (достоверность).

Раскроем существо задачи исследования точности и надёжности статистического оценивания. Пусть по результатам n наблюдений случайной величины получена точечная оценка . Возникает вопрос: насколько эта оценка точна и надёжна.

Точность статистического оценивания характеризуется абсолютной погрешностью (ошибкой)

.

Истинную погрешность Da определить невозможно даже при известной оценке . Это объясняется тем, что исследователь не знает истинное значение параметра a. Поэтому вводится понятие вероятной погрешности статистической оценки параметра a.

Максимальной вероятной погрешностью статистической оценки называется её максимально возможное отклонение e_b > 0 от оцениваемой характеристики случайного объекта, гарантируемое с вероятностью не менее b. Данная величина (e_b) имеет также эквивалентное название - максимальная с вероятностью b погрешность оценки какой – либо характеристики.

Если оценка несмещённая, то её математическое ожидание равно оцениваемой характеристике, т.е. справедливо равенство (3.1.5). Тогда при симметричном распределении оценки относительно математического ожидания имеет место следующее соотношение:

, (3.2.1)

где – максимальная с вероятностью b погрешность оценки параметра a.

Соотношение (3.2.1) введено в предположении, что параметр a известен. Но тогда задача его оценивания теряет смысл, её просто не существует. На практике дело обстоит иначе. На основе экспериментальных данных определяется оценка параметра, истинное значение которого остаётся неизвестным. Затем вводится соотношение

. (3.2.2)

Следует подчеркнуть, что похожие на первый взгляд выражения (3.2.1) и (3.2.2) имеют различный вероятностный смысл. Так, (3.2.1) определяет вероятность того, что случайная величина попадает в неслучайный интервал , а (3.2.2) – вероятность того, что неслучайное (хотя и неизвестное) значение a оцениваемого параметра окажется в пределах случайного интервала . Данный интервал является случайным как по величине, так и по расположению на вещественной оси, т.е. он накрывает точку a.

Интервал называется доверительным интервалом, соответствующим доверительной вероятности b, или 100b-про­центным доверительным интервалом. Его границы называются доверительными границами для параметра a.

Очевидно, чем у́же доверительный интервал, тем меньше максимальная с вероятностью b погрешность e_b оценки параметра, тем она точнее. С другой стороны, чем больше доверительная вероятность, тем более надёжна (достоверна) оценка, тем с бо́льшим доверием можно к ней относиться.

Абсолютная достоверность оценивания характеризуется доверительной вероятностью b = 1. В условиях воздействия случайных факторов такая достоверность не достижима, поэтому реальная доверительная вероятность определяется на основе принципа практической уверенности. Согласно этому принципу события, имеющие вероятности, близкие к единице, считаются практически достоверными, а имеющие вероятности, близкие к нулю, – практически невозможными. Иначе говоря, если вероятность случайного события близка к единице (к нулю), то практически можно быть уверенным, что при однократном проведении опыта это событие произойдёт (не произойдёт).

Вероятность практически достоверного события определяется сущностью решаемой задачи. При анализе качества статистического оценивания обычно принимают b Î [0,8; 0,99].

Как было показано в § 3.1 [см. формулу (3.1.4)], доверительные границы представляют собой статистики, т.е. некоторые функции элементов выборки (x₁, x₂,…, x_n)^Т = X_<n>. В случае одномерного параметра a соотношение (3.1.4) принимает вид

,

где ; .

Поскольку выборка априори случайна, то и статистики ,, а следовательно, и доверительные границы , априори случайны:

; .

При анализе качества статистических оценок вся информация об исследуемой переменной содержится в случайной выборке . Поэтому не только оценка параметра, но и её максимальная вероятная погрешность e_b определяется через выборку:

(3.2.4)

Соотношения (3.2.4) носят общий характер и в явном виде никогда не формируются. На практике погрешность e_b оценки выражается через саму оценку:

.

Таким образом, доверительные границы , для параметра a определяются его оценкой :

(3.2.5)

где функции и в общем случае различные. Соотношения (3.2.5) иллюстрируются рис.3.1.

Рис.3.1. Зависимость доверительных границ параметра от его оценки

Выражения (3.2.1) и (3.2.2) были получены в предположении, что оценка имеет симметричное относительно параметра a распределение. При этом доверительный интервал оказывается также симметричным. В этом случае должны выполняться условия , которые означают равенство положительной и отрицательной максимальных вероятных погрешностей. В общем случае это требование не обязательно и при определении и в основу могут быть положены различные соображения. Чаще всего выдвигается требование

, (3.2.6)

означающее, что истинное значение a оцениваемого параметра может оказаться левее или правее его доверительного интервала с одинаковой вероятностью.

При условии (3.2.6) и симметричном распределении оценки доверительный интервал для параметра a будет симметричным:

.

Следовательно, имеют место равенства

. (3.2.7)

Если распределение оценки не симметрично относительно оцениваемого параметра a, то при условии (3.2.6) доверительный интервал не симметричен, и соотношение (3.2.7) принимает вид

,

где и – соответственно абсолютные значения максимальных с вероятностью b отрицательной и положительной погрешностей оценки параметра a.

Итак, доверительный интервал (его составляющие и ) характеризует точность, доверительная вероятность b – надёжность (достоверность) оценки , а вместе они определяют качество оценивания параметра a.

В § 3.1 отмечалось, что с ростом объёма n выборки оценка сходится по вероятности к оцениваемому параметру a (закон больших чисел) и при этом её дисперсия стремится к нулю. Это значит, что с увеличением n растёт как точность, так и надёжность оценивания. В результате оказываются связанными между собой три характеристики качества статического оценивания:

- доверительный интервал I_b,n(a);

- доверительная вероятность b_e,n(a);

- объём n_b,e(a) выборки, потребный для оценивания параметра a с заданной точностью и надёжностью.

Указанные характеристики связаны соотношениями, позволяющими управлять качеством статистического оценивания[2]

(3.2.8)

Таким образом, при исследовании качества статистического оценивания решается одна из трёх основных задач:

- определение доверительного интервала I_b,n (или половины его длины e_b,n) для параметра a при заданной доверительной вероятности b и фиксированном объёме n выборки;

- определение доверительной вероятности b_I,n (или b_e,n) при заданном доверительном интервале I (или максимальной вероятной погрешности e) и фиксированном объёме n выборки;

- определение объёма n_b,I (или n_b,e) выборки, потребного для оценивания параметра a с требуемой надёжностью b и точностью I (или e).