Статистический анализ и обработка данных

В предыдущих разделах были рассмотрены методы определения характеристик, описывающих свойства случайных объектов (величин, векторов, функций). Однако цель обработки экспериментальных данных в конечном счёте состоит в выявлении причинно-следственных связей, определяющих состояние и развитие изучаемого явления. Установление этих связей позволяет не только глубоко анализировать различные процессы, но и определять оптимальные пути управления ими.

Решение указанной задачи осуществляется с помощью ряда методов, объединяемых единым названием – методы статистического анализа экспериментальных данных. В число этих методов входят методы дисперсионного, корреляционного, регрессионного, компонентного и факторного анализов, метод наименьших квадратов.

Все эти методы целесообразно разделить на две группы:

- методы статического статистического анализа (ССА), в которых фактор времени в явном виде не учитывается;

- методы динамического статистического анализа (ДСА), в которых экспериментальные данные представляются в форме динамических или временных рядов.

Из всего многообразия методов статистического анализа ниже будут изложены широко распространённые методы – наименьших квадратов и регрессионного анализа. Они рассматриваются как методы ССА.

В методах ССА признак, характеризующий причины, принято называть факторным признаком или для краткости – фактором. Признак, характеризующий следствия, принято называть результативным признаком или для краткости – результатом (результатом наблюдений).

При получении и обработке данных предполагается, что результат наблюдения y зависит от одного или нескольких факторов x₁, x₂,…, x_m, и фиксируется по отношению к данным факторам. В процессе обработки решается ряд вопросов.

1. Справедливо ли предположение о зависимости результата y от факторов x₁, x₂,…,x_m?

2. Как оценить степень этой зависимости?

3. Как выделить среди факторов наиболее существенные?

4. Нельзя ли сократить число факторов, используемых при анализе?

5. Какой вид имеет причинно-следственная зависимость между факторами и результатом?

Прежде чем приступить к рассмотрению данных вопросов, остановимся на процедуре формального представления причинно-следственных связей между результатом y и факторами x₁, x₂,…,x_m. Указанная процедура сводится к определению зависимости

y = f(x₁, x₂,…,x_m).

Подход к решению данной задачи различен в зависимости от свойств факторов X_<m>, функции f и, наконец, свойств результатов наблюдений. По этой причине постановка задачи анализа и методы её решения могут быть существенно различными. Для описания данной задачи будем обозначать символом f функциональную (детерминированную), а символом – стохастическую зависимость между X_<m> и y.

Напомним, что детерминированная – это зависимость величины y или её некоторой характеристики, например математического ожидания, от факторов X_<m>. Зависимость закона распределения результата y от факторов X_<m> является стохастической.

Тогда могут иметь место следующие виды зависимостей результата y от факторов X_<m>.

1. Функциональная зависимость от неслучайных факторов

, (8.1.1)

при которой случайный характер результата y обусловливается только ошибками при наблюдении данного результата.

2. Стохастическая зависимость от неслучайных факторов

, (8.1.2)

при которой случайный характер результата y обусловливается стохастическим характером зависимости .

3. Функциональная зависимость от случайных факторов

, (8.1.3)

при которой случайный характер результата y обусловливается случайным характером факторов.

4. Полная стохастическая зависимость

. (8.1.4)

Решение задачи анализа для зависимостей типа (8.1.1) и (8.1.3) опирается на метод наименьших квадратов, а для (8.1.2) и (8.1.4) – на методы регрессионного и корреляционного анализов.