Действия с приближенными числами - раздел Образование, ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Многие Считают, Чем Больше Цифр Содержит Вычисленная Или Изме...
Многие считают, чем больше цифр содержит вычисленная или измеренная величина, тем она точнее. Вопрос о различной точности вычисления очень важен, так как завышение точности вычисления приводит к большому объему ненужной работы. Студенты часто вычисляют искомую величину с точностью до пяти и более значащих цифр. Следует понимать, что эта точность излишняя. Нет никакого смысла вести вычисления дальше того предела точности, который обеспечивается точностью определения непосредственно измерявшихся величин. Проведя обработку измерений, часто не подсчитывают ошибки отдельных результатов и судят об ошибке приближенного значения величины, указывая количество верных значащих цифр в этом числе.
Значащими цифрами приближенного числа называются все цифры, кроме нуля, а также нуль в двух случаях:
1) когда он стоит между значащими цифрами (например в числе 1071 – четыре значащих цифры);
2) когда он стоит в конце числа и когда известно, что единица соответствующего разряда в данном числе не имеется. Пример: в числе 5,20 три значащих цифры, и это означает, что при измерении мы учитывали не только единицы, но и десятые, и сотые, а в числе 5,2 – только две значащих цифры, и это значит, что мы учитывали только целые и десятые.
При вычислении промежуточных результатов сохраняют на одну цифру больше, чем рекомендуют правила (так называемая запасная цифра). Её обычно пишут меньшим размером. В окончательном результате запасная цифра отбрасывается. Если она окажется меньше пяти, ее следует просто отбросить, а если пять или больше пяти, то, отбросив ее, следует предыдущую цифру увеличить на единицу.
Обычно в абсолютной ошибке оставляют одну значащую цифру, а измеренную величину округляют до того разряда, в котором находится значащая цифра абсолютной ошибки.
Приближенные вычисления следует производить с соблюдением следующих правил:
1. При сложении и вычитании в результате сохраняют столько десятичных знаков, сколько их содержится в числе с наименьшим количеством десятичных знаков. Например: 0,8934 + 3,24 + 1,188 = 0,893 + + 3,24 + 1,188 = = 5,321 ≈ 5,32. Сумму следует округлить до сотых долей, т.е. принять равной 5,32.
2. При умножении и делении в результате сохраняют столько значащих цифр, сколько их имеет приближенное число с наименьшим количеством значащих цифр. Например, необходимо перемножить 8,632´2,8´3,53. Вместо этого выражения следует вычислять 8,63´2,8´3,53 = 85,3 ≈ 85.
3. Результат расчета значений функций xn, , lg(x) некоторого приближенного числа x должен содержать столько значащих цифр, сколько их имеется в числе x. Например:
≈ 1,8∙10–2.
Рассмотрим пример. Пусть необходимо вычислить плотность вещества ρ, из которого изготовлен цилиндр. По определению
где m – масса тела, V – его объём.
Объём цилиндра определяется формулой
.
Здесь D – диаметр цилиндра, H – его высота.
Следовательно, расчётная формула для плотности вещества будет иметь вид
(7)
Пусть D и H измерены штангенциркулем с ценой деления 0,1 мм, а масса определена на физических весах. В результате многократных измерений найдем средние значения <H> = 10,34 мм и <D> = 40,27 мм, а m = = 35,9 г. При подстановке этих данных в формулу (7) получим ρ = 2,726∙103 кг/ м3. Еслиэту величину считать окончательным результатом, то запасная цифра 6 отбрасывается. Абсолютная погрешность измерения плотности в этом случае будет равна половине единицы последнего разряда, т. е. 5 кг/м3. Так обычно поступают при однократном измерении. В данном примере Н и D измерялись несколько раз, поэтому сначала надо вычислить относительную погрешность косвенного измерения плотности вещества по формуле
(8)
где DD и DH – абсолютные погрешности прямых измерений диаметра и высоты, а затем определить абсолютную погрешность плотности вещества из выражения ∆ρ = eρ. Пусть случайные абсолютные погрешности оказались равными: DDсл. = 0,01 мм; DHсл. = 0,23 мм, а ∆m = 0,05 г. Сравним вычисленные случайные погрешности с аппаратурной, равной цене деления штангенциркуля. DDсл. < 0,1, поэтому в формулу (8) подставим DD = 0,1 мм. А так как (DHсл./DHап.) < 3, то DH вычисляем по формуле (3) и получаем 0,25 мм.
Значение p нужно выбрать таким, чтобы относительной погрешностью Δπ/π в формуле (8) можно было пренебречь. Из анализа измеренных величин и вычисленных абсолютных погрешностей DD и DH видно, что наибольший вклад в относительную погрешность измерения объема вносит ошибка измерения высоты. Вычисление относительной ошибки высоты дает eH = = 0,0057. Если взять p = 3,1, то ep = 0,013, что превышает eH. Следовательно, значение p нужно взять 3,14. В этом случае Δπ/π » 0,00064 (Dp = 3,142 − − 3,14 = 0,002), что значительно меньше eH и относительную погрешность p можно не учитывать.
Вычисления относительной погрешности плотности по формуле (8) даёт значение e = 0,00769, а ∆ρ = 0,0077·2,72·103 = 20,9 кг/м3. Так как в абсолютной погрешности принято оставлять одну значащую цифру, то конечный результат следует записать в виде
ρ = (2,72 ± 0,02)103 кг/м3.
Необходимо сделать вывод по ответу. Полученное экспериментально значение величины плотности вещества, равное 2,72·103 кг/м3с точностью до ошибки измерений, составляющей ±0,02·103 кг/м3, совпадает с табличным (теоретическим) значением плотности алюминия, равным 2,71·103 кг/м3. Текст, выделенный курсивом, является шаблоном вывода по ответу в любой лабораторной работе.
Примечания:
1. Если измерения производят один раз или результаты многократных измерений одинаковы, то за абсолютную погрешность измерений нужно взять аппаратурную погрешность, которая для большинства используемых приборов равна цене деления прибора (более подробно об аппаратурной погрешности см. в пункте “Измерительные приборы”).
2. Если табличные или экспериментальные данные приводятся без указания погрешности, то абсолютную погрешность таких чисел принимают равной половине порядка (разряда) последней значащей цифры. Например, если m = 2,47 г, тогда Δm = 0,5·0,01 = 0,005 г.
Погрешности измерений физических величин Под измерением понимается сравнение измеряемой величины с... Классификация погрешностей измерений...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Действия с приближенными числами
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Выполнение лабораторных работ является обязательной составной частью при изучении дисциплины «Физика». Настоящий физический практикум по разделу «Механика» составлена в соответствии
ТРЕБОВАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТ
На каждое лабораторное занятие студент должен приносить с собой:
тонкую тетрадь, физический практикум, в котором дано описание выполняемой лабораторной работы, калькулятор,
ФОРМА ОТЧЕТА
Отчет каждой работы следует готовить в отдельной тонкой тетради (можно с двумя листами в зависимости от объема работы). Первый лист оформляется как титульный:
Погрешности измерений физических величин
Под измерением понимается сравнение измеряемой величины с другой величиной, принятой за единицу измерения. При измерении приходится выполнять три последовательные операции:
Обработка результатов прямых измерений
Обычно в реальных измерениях присутствуют и случайные и систематические (аппаратурные) погрешности. Если вычисленная случайная погрешность прямых измерений равна нулю или меньше апп
Построение графиков
Результаты, полученные в ходе выполнения лабораторной работы, часто ва
Измерительные приборы и учет их погрешностей
Для прямых измерений физических величин применяют измерительные приборы. Любые измерительные приборы не дают истинного значения измеряемой величины. Это связано, во-первых, с тем, ч
Краткие теоретические сведения
Случайной называется величина, изменяющаяся от опыта к опыту нерегулярно и, на первый взгляд, беспорядочно. Результат каждого отдельного измерения случайной величины практически неп
Измерения и обработка результатов
В данной работе моделирование случайной величины осуществляется следующим образом. При помощи обычных часов с секундной стрелкой задают некоторый промежуток времени t и измер
Краткие теоретические сведения
По второму закону Ньютона произведение массы частицы на ускорение равно действующей силе:
Порядок выполнения работы
1. Ознакомиться с машиной Атвуда.
2. Скомпенсировать силу трения в блоке, добавляя к правому грузу, движущемуся вниз, небольшой грузик (кусочек пластилина или проволоки). П
Порядок выполнения работы
1. Ознакомиться с машиной Атвуда.
2. Скомпенсировать силу трения в блоке (согласно п. 1 задания 1).
3. На правый груз поместить перегрузок известной массы m
ПРИ СОУДАРЕНИИ ШАРА С ПЛОСКОЙ СТЕНКОЙ
Цели работы:измерить время соударения металлических тел, определить среднюю силу удара и коэффициента восстановления скорости.
Оборудование:
Порядок выполнения работы
1. Включить в электросеть электронный секундомер. Прогреть прибор в течение одной минуты.
2. Отвести шар от положения равновесия на угол α = 20–30о.
Порядок выполнения работы
1. Провести корректировку осевой установки шаров. Для этого шар, который расположен выше, повернуть так, чтобы риски на шарах находились на одном уровне.
2. Регулировочными
Порядок выполнения работы
1. Масса пули и маятника указаны на установке.
2. Измерить линейкой расстояние l от точки подвеса до точки крепления нити к маятнику.
3. Привести маятник в
Порядок выполнения работы
1. Сделать 5 выстрелов из пистолета, расположенного на столе, в ящик с песком или лист бумаги, расположенный на полу. После каждого выстрела по отметке пули на песке, или на листе,
Описание установки и метода измерений
Маховик состоит из массивного диска и шкива, насаженных на вал. Вал закреплен в подшипниках. На шкиве намотана нить (на некоторых установках роль шкива выполняет вал), к свободному
Порядок выполнения работы
1. Отрегулировать длину нити так, чтобы груз не касался основания штатива.
2. Измерить штангенциркулем диаметр шкива, определить массу груза m. Результаты записать в
Порядок выполнения работы
1. На диске маятника укрепить произвольно выбранное кольцо.
2. Произвести корректировку установки маятника, обращая внимание на то, чтобы его ось была параллельна основанию
И ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА СИЛЫ ТРЕНИЯ
Цели работы: построить для маховика график зависимости углового ускорения b от момента силы натяжения Мн и определить из него момент силы трения
Порядок выполнения работы
1. Измерить штангенциркулем диаметр D шкива.
2. Вращая маховик, поднять висящий на нити груз на высоту h. Измерить высоту с помощью линейки (отсчет вести по н
Порядок выполнения работы
1. Определить массу грузов m1 и m2 (m1 взять примерно вдвое больше m2). Определить высоту h, с которой
Описание установки и метода измерений
Твердое тело, подвешенное на упругой нити, будет совершать крутильные колебания, если его повернуть на некоторый угол относительно вертикальной оси, совпадающей с нитью подвеса, и з
Порядок выполнения работы
1. Поворотом нижнего диска привести систему в колебательное движение. Следите за тем, чтобы центр масс диска не смещался в сторону, т. е. перемещался вертикально. Амплитуда колебани
Описание установки и метода измерения
Большинство косвенных методов измерения ускорения свободного падения g основано на использовании формулы для периода гармонических колебаний физического маятника
&nb
Порядок выполнения работы
1. Опорную призму укрепить на конце стержня. Поместить маятник ребром опорной призмы на подставку и привести в колебательное движение так, чтобы амплитуда колебаний не превышала ~ 6
Краткие теоретические сведения
Под влиянием внешних сил всякое твердое тело деформируется, т. е. изменяет свою форму и размеры. Упругой называется деформация, исчезающая с прекращением действия силы. Так, упруго
Порядок выполнения работы
ЗАДАНИЕ № 1
Рис. 1
Цель работы: проверить закон Гука.
1. К нижнему концу пружины подвешивать разные грузы массы m
Краткие теоретические сведения
Большинство косвенных методов измерения ускорения свободного падения g основано на использовании формулы для периода гармонических колебаний физического маятника
&nb
Порядок выполнения работы
1. Закрепить один груз вблизи конца, а другой – вблизи середины стержня.
2. Закрепить призмы так, чтобы они были обращены друг к другу. Одну из них поместить вблизи свободн
Краткие теоретические сведения
Если натянуть струну и возбудить в ней колебания, то по струне побегут волны, которые, отражаясь от закрепленных концов и, складываясь друг с другом, создают сложную картину колебан
Описание установки
Для возбуждения колебаний струны в работе используется метод резонанса. Струна приводится в движение силой, действующей на проводник с током в магнитном поле. Постоянное магнитное п
Порядок выполнения работы
1. Подключить установку к сети 220 В. Нажать кнопку «СЕТЬ».
2. Дать электронному блоку в течение 1–2 минут войти в режим.
3. Установить натяжение струны F =
Краткие теоретические сведения
Процесс распространения колебаний в упругой среде называется волной. Расстояние, на которое распространяется волна за время, равное периоду колебания, называется длиной волны. Длина
Описание установки
Общий вид установки показан на рис. 2. На конце металлической трубы 1 жестко закреплен микрофон 2. Вдоль трубы при помощи стержня 3 может свободно перемещаться электродинамический г
Порядок выполнения работы
1. Подключить динамик к генератору электрических колебаний звуковой частоты, а микрофон – к осциллографу. Включить генератор и осциллограф в сеть. Частоту генератора задавать пример
РАСЧЕТ СЛУЧАЙНОЙ ПОГРЕШНОСТИ НА КАЛЬКУЛЯТОРЕ
Случайная погрешность влияет на окончательный результат измерений, в равной степени завышает либо занижает его. Поэтому необходимо указать интервал на числовой оси (см. с. 8), в кот
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
, lg(x) некоторого приближенного числа x должен содержать столько значащих цифр, сколько их имеется в числе x. Например:
≈ 1,8∙10–2.
.
(7)
(8)
Новости и инфо для студентов