Способ секущих концентрических сфер

Способ сфер основан на свойстве пересечения двух соосных поверхностей вращения по окружности (рис. 18). Сфера является частным видом поверхности вращения, Поэтому она также пересекает соосную с ней поверхность вращения по окружности (рис. 19).

Рис. 18 Рис. 19

Рис. 20

Способ концентрических сфер применяют при построении точек линии пересечения поверхностей вращения с пересекающимися осями. Для простоты важно, чтобы оси пересекающихся поверхностей были параллельны одной из плоскостей проекций. В этом случае окружности, по которым вспомогательные сферы пересекают поверхности, будут проецироваться на плоскость проекций в виде отрезков прямых. За центр сфер принимается точка пересечения осей заданных поверхностей. Первоначально определим опорные точки и радиусы минимальной и максимальной сфер. Радиус максимальной сферы равен расстоянию от центра сфер до наиболее удаленной точки пересечения линий очерков поверхностей. Радиус минимальной сферы определяется из условия касания минимальной сферы одной поверхности (вписывается в поверхность) и пересечения второй (рис. 20).

Рассмотрим применение способа секущих концентрических сфер на примере построения линий пересечения двух конусов с пересекающимися осями (рис. 20).

Отмечаем проекции точки О (О₁,О₂) пересечения заданных конусов и принимаем их за проекции общего центра всех секущих сфер. Отмечаем фронтальные проекции верхних 1₂ и 1₂` и нижних 2<sub>2</sub> и 2<sub>2</sub>` точек линий пересечения поверхностей. С помощью линий связи, проведенных из точек 1₂,2₂,1₂` и 2<sub>2</sub>`, находим горизонтальные проекции 1₁,2₁,1₁` и 2<sub>1</sub>` точек 1,2,1` и 2`. Линии связи проводим до пересечения их с горизонтальными проекциями фронтальных очерковых линий конусов, совпадающих на виде сверху с горизонтальной осевой линией. Максимальный радиус R_max секущей сферы равен отрезку О₂2₂, т.е. расстоянию от центра сфер до наиболее удаленнной точки пересечения очерковых образующих. Для определения минимального радиуса R_min секущей сферы из точки О₂ опускаем перпендикуляры на прямолинейные образующие конусов. Больший из этих перпендикуляров (перпендикуляр на образующую конуса Ф) принимаем за R_min. Для построения промежуточных (регулярных) точек линий пересечения обе поверхности рассекаем концентрическими сферами, радиусы которых находятся в диапазоне

R_min<R<R_max

Рассечем поверхности сферой S`, радиус которой несколько меньше R_max. Эта сфера пересекает конус Ф по двум окружностям, которые проецируются на фронтальную плоскость в виде отрезков А₂В₂ и С₂D₂. Конус q сечется сферой S¢ также по двум окружностям, которые проецируются на фронтальную плоскость проекций в виде отрезков E₂F₂ и G₂H₂. Отрезки А₂В₂ и G₂H₂ в пределах очерковых линий фигур не пересекаются. Поэтому они не дадут точек линий пересечения поверхностей. В пересечении отрезков C₂D₂ и E₂F₂ отмечаем совпадающие точки 3₂º4₂ – фронтальные проекции точек 3 и 4 правой линии пересечения конусов. Для определения горизонтальных проекций 3₁ и 4₁ точек 3 и 4 линии пересечения конусов из точки 3₂º4₂ проводим линию связи до пересечения ее на горизонтальной проекции с окружностью m₁, диаметр которой равен отрезку C₂D₂.

Далее, вводя новые секущие сферы и выполняя аналогичные построения, строим проекции других регулярных точек линий пересечения.

Все найденные проекции точек линий пересечения поверхностей соединяем плавными лекальными кривыми с учетом условий видимости.