Математичне моделювання міграції в ґрунтах

 

Дослідження кількісних закономірностей вертикальної міграції радіонуклідів в ґрунтах цікавить нас з декількох точок зору:

· вимивання радіонуклідів поверхневими водами із ґрунту забрудненої ділянки залежить від концентрації радіонуклідів в поверхневому шарі, а вона, в свою чергу, змінюється внаслідок вертикальної міграції.

· значення швидкості вертикальної міграції необхідне для оцінки небезпечності радіоактивного забруднення ґрунтових вод мало сорбуючими радіонуклідами.

· коріння рослин нерівномірно розподілене по глибині ґрунту, тому зміни з плином часу розподілу радіонуклідів в межах кореневого об’єму призводять до зміни їх надходження в рослини.

· вивчення вертикальної міграції радіонуклідів цікаве і з точки зору оцінки швидкості переносу елементів при ґрунтоутворюючих процесах.

Вивчення всіх наведених явищ потребує знання того, наскільки швидко мігрує той чи інший радіонуклід в конкретному ґрунті при даних умовах. В багатьох випадках необхідно вміти оцінити розподіл нуклідів в майбутньому через достатньо довгий проміжок часу. Складання обґрунтованого прогнозу міграції можливе лише на основі тих чи інших модельних уявлень про рушійні сили міграції і рівнянь, що випливають з тих уявлень.

Розвиток математичного опису явища в свою чергу потребує поглиблення експериментальних досліджень, що дозволяє організовувати комплексні дослідження за принципом динамічної взаємодії моделі і експерименту.

В залежності від форми реалізації математичні моделі міграції радіонуклідів можна розділити на імітаційні і аналітичні. Під імітаційними моделями розуміють «формалізований опис в ПЕОМ досліджуваного явища у всій його повноті на межі нашого розуміння». Їх широке застосування, почалося з розвитком електронної обчислювальної техніки, дозволило вирішувати ряд комплексних проблем, в тому числі і радіоекологічного характеру.

В залежності від степеня визначеності отриманих результатів як імітаційні, так і аналітичні моделі поділяють на детерміновані і стохастичні. При цьому, якщо в детермінованих моделях значення змінних визначається точно, то стохастичні моделі оперують з розподіленням параметрів. В такому випадку вони розглядаються як випадкові величини і характеризуються імовірнісними поняттями, такими, як математичне очікування, дисперсія і т.п. Точкові і просторові розподілені моделі відрізняються по розмірності просторового опису.

Крім розподілу моделей у відповідності з критеріями, зазначеними вище, їх можна класифікувати на статистичні і динамічні в залежності від того, чи описують вони часову динаміку процесів чи ні.

Моделі міграції радіонуклідів за специфікою охоплення розглянутих процесів, раціонально розділити на 6 груп:

- моделі міграції радіонуклідів в ґрунтах;

- моделі ареального забруднення посівів сільськогосподарських культур;

- моделі міграції радіонуклідів в системі ґрунт - рослина;

- моделі переносу радіонуклідів по харчових ланках;

- моделі транспорту радіонуклідів в агросфері;

- моделі транспорту радіонуклідів в організмі сільськогосподарських тварин.

Доцільність подібного поділу пояснюється тим, що моделі перших чотирьох груп використовуються при розробці моделей міграції радіонуклідів по харчових ланках і вони служать основою для прогнозування транспорту радіонуклідів в агросфері. Таке ділення склалось історично і набуло достатнього поширення. [10]

 

1.3.1.Аналітичний метод

Після встановлення основних сил, які зумовлюють вертикальну міграцію радіонуклідів і реалізації уявлень у математичній формі почався другий етап досліджень. Для нього характерне використання аналітичних обчислень диференціальних рівнянь динаміки сорбції в однорідному середовищі як теоретичної основи для обробітку даних, отриманих у природних спостереженнях. Одночасно продовжувалось збирання фактичних даних про міграцію.

Цілком природно, що більшість дослідників звернулись для опису міграції до математичного апарату теорії хроматографії. Ґрунтовий профіль при цьому рахували аналогом колонки, заповненої іонообмінною смолою.

Переміщення речовини в адсорбуючому середовищі описується в загальному вигляді системою рівнянь:

1.рівняння матеріального балансу речовини;

2.рівняння кінетики сорбції;

яке при t-0 перетворюється в рівняння ізотерми адсорбції

C₂ = f (C₁) (1.3)

де

С₁, С₂ – концентрація речовини відповідно в розчині і в адсорбованому стані;

U₁ і U₂ – об’ємна доля розчину в твердій фазі загального об’єму середовища,

D*- коефіцієнт квазідифузії рідини в середовищі.

Конкретний вид рівнянь залежить від властивостей середовища й вмісту вологи. Говорячи про міграцію, радіонуклідів у ґрунтах, можна постулювати про лінійність ізотерми адсорбції, так як вагова кількість компонент радіоактивних забруднень, як правило малі для порівняння з адсорбційною ємністю ґрунту. В порівнянні з природними умовами міграції в більшості випадків повинна враховуватись рівновага між рідкою і твердою фазами ґрунту. Із-за малих середніх швидкостей переміщення ґрунтової вологи, не можна не враховувати продольної дифузії. Для цього випадку приведена система рівнянь зводиться до рівняння конвекційної дифузії:

Поміж інших міграційних процесів – дифузія виділяється тим, що будучи обумовлена тепловим переміщенням іонів і молекул, вона протікає безперервно при будь-яких погодних умовах. В той час швидкість конвекційних потоків в ґрунті, як правило – невеликі. Наприклад, при вивченні водяного режиму ґрунтів в нормальних умовах за допомогою ³Н було встановлено, що при середньорічній нормі опадів 220мм середня швидкість фільтрації ґрунтової вологи була в рамках (1-1.8)*10^-6 см/с. Тому було нормальним показати, що вклад дифузії в сумарне переміщення може бути підставленим, а в деяких випадках і більшим з порівняним вкладом конвекційного переносу. Таке припущення було вперше зроблено в результаті аналізу літературного матеріалу, який торкається вертикального розміщення глобального ⁹⁰Sr в ґрунтах. Розгляд вертикальної міграції, як дифузійного процесу, сильно спрощує математичний апарат, використаний при розрахунках

Оскільки якість ґрунтів і характер їх змін при переході від одного горизонту до другого сильно відрізняється, немає можливості представити якусь універсальну залежність змін якості по глибині профілю, яка підходила б для всіх типів ґрунтів

Виходом з цього положення служить використання не аналітичних, а чисельних математичних методів рішення рівняння переносу. Аналітичні рівняння міграції в цьому випадку використовуються тільки для складення алгоритму обчислення, для вказівки, які саме дії потрібно зробити з даними числами, щоб отримати результати.

1.3.2.Методи чисельного моделювання

Чисельні методи обчислення, на відміну від аналітичних, володіють такою властивістю, що представляють можливість розглядати міграцію в ґрунтовому профілі з будь-яким співставленням якостей окремих шарів, не обмежуючи його допущення по цьому чи іншому характері змін якості ґрунту з глибиною. Чисельні методи як правило реалізуються у вигляді програм для ЕОМ, використання яких стало в даний час доступним для всіх нематематичних професій.

Прикладами моделі міграції, заснованих на використанні числових методів обчислення, є роботи, які розглядали вертикальну міграцію ⁹⁰Sr в ґрунті як результат одночасного спільного переміщення під впливом фільтрації вологи і дифузійного переміщення.

Можна представити класифікацію теорії вертикальної міграції радіонуклідів в ґрунтах, по-перше, за ознакою однорідності або неоднорідності ґрунту, як об’єкт розгляду, по-друге, фактора міграції, розглянутого в якості головного.

Крім цих моделей міграції в літературі відомі роботи, встановлюючи ті чи інші емпіричні закономірності.

Загальним недоліком емпіричних закономірностей міграції являється обмежена область їх застосування, не дозволяючи порівнювати дані, одержані на різних типах ґрунтів і в різних кліматичних умовах.

Було б неправильним думати, що з появою чисельних методів, завдяки яким можна розраховувати динаміку переміщення радіонуклідів з максимальним наближенням до реальних умов, відпадає необхідність в застосуванні більш грубих методів. В багатьох випадках необхідно на основі обмеженого доступу до експериментальних даних, робити наближені прогнози міграції радіонуклідів. В таких випадках головним критерієм, представленим до методу прогнозу, являється швидкість і простота обрахунку, а також мінімальне число характеристик, потрібних для обрахунку. Таким критерієм задовольняють умови, засновані на аналітичних рішеннях рівнянь переносу при спрощеному розгляді явищ міграції.

Таким чином, для точних розрахунків, враховуючи реальні ґрунтові умови, які проявляються в зміні характеристик переносу по порах року і з глибиною ґрунту, краще використовувати чисельні методи рішення рівнянь переносу. Для наближених експресних розрахунків, а також для знаходження характеристик переносу, краще застосовувати аналітичні рішення, які відносяться до спрощених методів. Ученими розроблені методи і засновані на практиці, які відносяться до цих категорій.

 

1.3.3.Елементи кореляційного аналізу

 

Кореляційний аналіз являє собою статистичне дослідження залежності між випадковими величинами. Метою є виявлення існування істотної залежності однієї змінної від іншої.

Поділяють такі основні числові характеристики випадкових величин: