Нормальные напряжения при изгибе - раздел Образование, Аксиомы статики
Для Вывода Основных Расчётных Формул Рассмотрим Частный Случа...
Для вывода основных расчётных формул рассмотрим частный случай плоского изгиба балки – состояние чистого изгиба. Это состояние деформации наблюдается тогда, когда на каком-то участке балки действует только изгибающий момент Мх, а поперечная сила равна Qy = 0.
Экспериментальные исследования балок при чистом изгибе показывают:
– плоские сечения балки остаются плоскими и после нагружения, испытав лишь некоторый поворот относительно друг друга;
– продольные волокна балки не давят на выше- и нижерасположенные волокна, они либо растянуты, либо сжаты;
– нейтральный слой, перпендикулярный плоскости симметрии балки, отделяет область растянутых волокон от области сжатых волокон.
На рис. 20 представлена схема деформации участка балки при чистом изгибе.
Возьмём на этом участке балки элемент, выделенный двумя сечениями I–I и II–II, находящимися на расстоянии dz друг от друга, и рассмотрим характер его деформации (рис. 20а). При принятом положительном знаке изгибающего момента Мх верхние волокна будут сжаты, а нижние – растянуты (рис. 20б).
Слой волокон, который не деформируется при нагружении, называют нейтральным. Свяжем с ним плоскость xОz.
Кривизна нейтрального слоя в результате поворота поперечных сечений I–I и II–II на угол dθ относительно друг друга равна (рис. 20в):
. (4.3)
Отрезок cd (cd = ab = dz), удалённый от нейтрального слоя вниз на расстояние y, получит приращение длины c′d'−cd, которое можно выразить через кривизну балки:
c′d′ – cd = (ρ + y)dθ – ρdθ=yθ. (4.4)
Его относительная продольная деформация будет с учётом (4.3) равна:
. (4.5)
Тогда напряжения σ, вызвавшие эту деформацию, будут положительны и по закону Гука при растяжении определяются как
. (4.6)
Здесь учтено, что для нижней зоны растяжения координата у является отрицательной (рис. 21в).
При чистом изгибе продольная сила N и изгибающий момент относительно оси у–Му отсутствуют (N = 0; Му = 0), но их формальное определение позволяет сделать ряд выводов (рис. 21г):
, откуда 
; (4.7)
, откуда 
. (4.8)
Равенство нулю статического момента Sx площади сечения относительно нейтральной линии (оси х) говорит о том, что нейтральная линия проходит через центр тяжести поперечного сечения.
Нулевое значение центробежного момента инерции сечения Jxy означает, что оси х и у являются главными центральными. Следовательно, рассматриваемый вид чистого плоского изгиба реализуется тогда, когда балка деформируется в главной плоскости. Значение изгибающего момента в сечении (с учётом знака момента и положения осей х, у) есть интеграл:
, откуда 
. (4.9)
Величина EJx называется жёсткостью балки при изгибе, она характеризует способность конкретной балки сопротивляться изгибу. Подставляя (4.9) в формулу (4.6), получаем формулу для нахождения значений напряжений:
. (4.10)
В формуле (4.10) знак «минус» обычно опускается (он связан с выбором направления осей координат сечения и знаков изгибающего момента). В расчётах учёт знака изгибающего момента определяет зоны растянутых и сжатых волокон, а у характеризует расстояние до соответствующих волокон. Поэтому общепринятая форма записи зависимости (4.10) следующая:
. (4.11)
Таким образом, нормальные напряжения в произвольной точке поперечного сечения прямо пропорциональны величине изгибающего момента и расстоянию от нейтральной оси и обратно пропорциональны моменту инерции сечения относительно оси.
Максимальное напряжение при изгибе в сечении балки возникает в точке, наиболее удалённой от нейтральной линии:
. (4.12)
Величина Wx = Jx/|ymax| называется моментом сопротивления сечения при изгибе, она рассчитывается относительно нейтральной (центральной) оси Ох поперечного сечения. В наиболее же опасном сечении балки вдоль оси z
, (4.13)
тогда условие прочности по нормальным напряжениям при изгибе имеет вид:
. (4.14)
Условие прочности (4.14) при изгибе позволяет решать три основных типа задач:
– проектировочный расчет – подбор сечений балок (т. е. расчёт Wx) при известных нагрузках (Мх) и материале балки ([σ]) по формуле:
; (4.15)
– проверочный расчет – проверка прочности балок по формуле (4.14);
– определение допускаемых внешних нагрузок:
[Mx] = [σ]·Wx. (4.16)
Формула (4.11) выведена для чистого изгиба.
При поперечном изгибе в поперечных сечениях возникают и нормальные, и касательные напряжения.
Возникновение касательных напряжений сопровождается появлением деформаций сдвига, в результате чего поперечные сечения балки перестают быть плоскими (гипотеза Бернулли теряет силу). Кроме того, при поперечном изгибе возникают напряжения в продольных сечениях балки, т. е. имеет место надавливание волокон друг на друга.
Более детальные исследования показывают, что, несмотря на это, формула (4.11) даёт вполне надёжные результаты и при поперечном изгибе.
4.5. Перемещения при изгибе. Дифференциальное
Все темы данного раздела:
Аксиомы статики
1. Аксиома о равновесии системы двух сил.
Для равновесия системы двух сил, приложенных к точкам твердого тела, необходимо и достаточно, чтобы эти силы были р
Аксиома связей.
Абсолютно твёрдое тело имеет в трёхмерном пространстве шесть степеней свободы, в двумерном – три степени свободы. Для того, чтобы ограничить перемещение тела на него накладывают то или иное количес
Теоремы статики
1.Теорема о переносе силы вдоль линии действия.
Действие силы на твердое тело не изменится от переноса силы вдоль своей линии действия (рис.8).
Система сходящихся сил
Системой сходящихся сил (или пучком сил) называют такую систему сил, линии, действия которых пересека
Условия равновесия системы сходящихся сил
Для равновесия системы сходящихся сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы силовой многоугольник, построенный из этих сил, был замкнутым, т.е. равнодействующая должна быть р
Алгебраический момент силы относительно точки.
Используется при рассмотрении плоской системы сил. Алгебраическим моментом силы относительно точки называют произведение модуля силы на плечо силы относительно этой точки, взятое со знаком плюс или
Момент силы относительно оси.
Моментом силы относительно оси называют алгебраический момент проекции этой силы на плоскость, перпендикулярную оси (
Пространственная система сил
Если система сил находится в равновесии, то в равновесии находится и эквивалентная ей система, состоящая из главного вектора и главного момента пары. Чтобы такая система сил была эквивалентна нулю
В декартовых координатах
Положение точки М0 определяем радиус-вектором
В естественной системе координат
Определим орт , он направлен по касательной к траектории. Вектор
Скорость и ускорение точки в полярных координатах
Положение точки на плоскости известно, если заданы радиус-вектор и полярный угол φ как функции времени (рис. 19
Координатах
Положение точки М в пространстве определяют заданием трех ее цилиндрических координат как функций времени (рис. 20):
Сложное движение точки
Рассмотрим движение точки М по траектории в пространстве (рис. 21). Будем рассматривать параметры ее движения из неподвижной системы Oxyz и подвижной системы O'x'y'z'.
Поступательное движение твердого тела
Поступательным движением твердого тела называется такое его движение, при котором любая прямая, жестко связанная с телом, остается параллельной самой себе в
Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси
Вращательным движением твердого тела вокруг неподвижной осиназывается такое
Плоское движение твердого тела
Плоским движением твердого тела называюттакое его движение, при котором каждая его точка все время движется в одной и той же неподвижной плоскости. Част
Мгновенный центр скоростей
Выбираем точку А за полюс – начало отсчета подвижной системы координат, движущейся только поступательно, относительное движение будет "чистым" вращением (рис. 26).
Способы нахождения мгновенного центра скоростей.
Мгновенный центр скоростей можно найти либо из механических условий задачи (точка касания колеса, катящегося без проскал
Мгновенный центр ускорений
За переносное движение тела примем поступательное движение, за относительное движение – вращение тела во
Законы динамики. (Законы Ньютона)
1. Каждое тело пребывает в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока действующие на тело силы не заставят его изменить движение (причиной изменения
Аксиома о суперпозиции сил
При одновременном действии на материальную точку нескольких сил ускорение точки относительно ИСО от действия каждой отдельной силы не зависит от наличия других приложенных к точке сил и полное уск
Дифференциальные уравнения движения материальной точки. Две основные задачи динамики точки
− равнодействующая,
Криволинейное движение
Дифференциальное уравнение прямолинейного движения точки вдоль оси Охимеет вид:
Простейшие свойства внутренних сил системы
Механической системой называется любая совокупность материальных точек.
Внешними силами материальной системыназываются силы, с кот
Дифференциальные уравнения движения системы
Если к каждой точке системы приложить равнодействующую силу внешних сил
Количество движения точки и системы
Количеством движения материальной точки наз
Теорема об изменении количества движения системы
Для каждой точки системы, находящейся под действием внешних и внутренних сил, имеем:
Законы сохранения количества движения
Эти законы представляют собой частные случаи теоремы об изменении количества движения системы.
Если
Работа силы.
Элементарная работа силы равна скалярному произведению силы на дифференциал радиус-вектора точки приложения си
Работа силы тяжести
В принятой системе координат (рис. 41 ):
Px=0, Py=0, Pz= − mg
Вычисление кинетической энергии системы
Разложим движение механической системы на переносное поступательное вместе с центром масс и относительное по отношению к системе координат, движущейся поступательно вместе с центром масс.
Теорема об изменении кинетической энергии точки
Умножим скалярно обе части второго закона Ньютона на dr
После несложн
Теорема об изменении кинетической энергии системы точек
Для каждой точки системы имеем:
Здесь выразили равнодействующую силу
Потенциальное силовое поле и потенциальная энергия
Силовым полем называют часть пространства, в каждой точке которого на материальную точку действует определенная сила, зависящая от координ
Закон сохранения механической энергии
Для материальной точки ранее имели:
Если материальная точка движется в стационарном потенциальном силовом поле
Структура механизмов
Существуют общие закономерности в структуре (строении) самых различных механизмов, связывающие число степеней свободы (подвижность) W механизма с числом звеньев и числом и классом е
Принцип образования механизмов. Группа Ассура
Простую и вместе с тем рациональную классификацию механизмов, тесно связанную с их образованием, строением и методами кинематического и силового исследования, предложил в 1914 г. Л.
Структурный анализ плоских рычажных механизмов
Под структурным анализом понимают определение количества звеньев и кинематических пар, классификацию кинематических пар, определение степени подвижности механизма, класса и порядка
Задачи и методы
Рычажные механизмы используются в качестве передаточных механизмов, воспроизводящих заданную функциональную зависимость между перемещениями входных и выходных звеньев. Они часто используются так
Графоаналитический метод
На практике широко применяют метод планов скоростей и ускорений. Метод основан на графическом решении векторных уравнений движения. Для построения планов скоростей и ускорений механ
Силы, действующие в машинах
Развитое машинное устройство, состоящее из двигателя, передаточных механизмов и рабочей машины и, в некоторых случаях, контрольно-управляющих машин, называется машинным агрегатом
Силовой расчет
Силовой расчет начинается с последней, т.е. наиболее удаленной от ведущего звена группы Ассура, и кончается расчетом ведущего звена.
В качестве примера рассмотрим силовой расчет двухповодк
Вопросы для самопроверки.
1. Назовите виды трения. Их принципиальные отличия.
2. Напишите формулу Амонтона – Кулона для определения силы трения скольжения.
3. Что представляет собой коэфф
Задачи и методы сопротивления материалов
В процессе эксплуатации машин и механизмов всякий элемент конструкции в результате действия на него внешних сил изменяет в той или иной степени свои первоначальные размеры и формы,
И свойств материалов
Для оценки прочности реальной конструкции следует правильно подобрать адекватную ей модель, или расчётную схему. Это обусловлено тем, что решение зада
Виды деформаций
Проведение расчётов на прочность в сопротивлении материалов связано с необходимостью установления зависимостей между внешними силами, действующими на элементы конструкций, и возникающими при этом в
Понятие о деформациях
В сопротивлении материалов, в отличие от теоретической механики, исследуют поведение конструкций, материал которых сп
Понятие о напряжениях
Для оценки уровня внутренних сил в какой-либо точке D (рис. 5) вводится понятие меры интен
О физической взаимосвязи напряжений и деформаций
Связь между перемещениями и деформациями впервые была сформулирована Робертом Гуком в конце XVII века. В современной интерпретации закон Гука, или гипотеза упругости,
Вопросы для самопроверки
1. В чём отличие реального объекта от расчётной схемы?
2. Назовите основные формы моделей физических объектов, их отличие.
3. Каким образом схематизируют внешн
Определение продольной силы
Растяжением (сжатием) называется такой вид деформации стержня, при котором в поперечных сечениях возникает только продольная сила. Её вектор перпендикулярен к поперечн
Определение напряжения
Если на поверхности призматического стержня нанести сетку линий, параллельных и перпендикулярных оси стержня (рис. 7а), и приложить к нему растягивающую силу
Определение деформаций. Закон Гука
Анализ деформации стержня при растяжении (рис. 7) показывает, что весь стержень удлинится на ∆l = l1 – l (абсолютная деформация), а его попереч
Испытание материалов на растяжение и сжатие
Основные механические характеристики материалов получают в результате специальных лабораторных исследований на испытательных машинах при нагружении стержней на растяжение и сжатие.
Коэффициент запаса, допускаемое напряжение
Расчёт на прочность и жёсткость осуществляется двумя методами: методом допускаемых напряжений, деформаций и методом допускаемых нагрузок.
Напряжения
Вопросы для самоконтроля
1. Как вычисляются значения продольной силы в поперечных сечениях стержня?
2. Что представляет собой эпюра продольных сил и как она строится?
3. К
Статические моменты площади
Моменты инерции сечения
Осевыми моментами инерции сечения (рис. 3.1) относительно осей x, y называются интегралы вида:
Моменты сопротивления сечений
При прочностном расчёте балок используются и такие характеристики сечения, как моменты сопротивления площади сечения относительно центральных координатных осей (О
Геометрические характеристики некоторых сечений
Рассмотрим геометрические характеристики наиболее часто встречающихся форм сечений элементов конструкций.
3.4.1. Сечение в форме прямоугольника
Вопросы для самопроверки
1. Что называется статическим моментом сечения относительно оси? Единица измерения.
2. Чему равен статический момент относительно оси, проходящей через центр тяжести сечения? Цен
Внутренние силовые факторы при изгибе
На первом этапе анализа основная цель заключается в определении и построении эпюр (графиков) внутренних силовых факторов (при плоском изгибе – Qy, Мх
Теорема Д. И. Журавского
Правильность построения эпюр поперечной силы и изгибающего момента можно проверить при помощи дифференциальных зависимостей Журавского между
Уравнение упругой линии балки
Изогнутая ось, представляющая собой геометрическое место центров тяжести поперечных сечений деформирова
Вопросы для самопроверки
1.В чём отличие между изгибом прямым и косым, чистым и поперечным?
2. Какие внутренние силы возникают в поперечных сечениях балки при изгибе?
3. Какие правила
Кручение
Кручением называется такой вид деформации стержня (вала), при котором в поперечных сечениях возникает только крутящий момент.
5.2.1. Определение к
Вопросы для самопроверки
1. Что называется сдвигом?
2. Что называется абсолютным и относительным сдвигом?
3. Как формулируется закон Гука при сдвиге?
4. Как связаны меж
В двух направлениях
Рассмотрим общий случай плоского (двухосного) напряжённого состояния, когда отличны от нуля два главных напряжения
Положения
Пусть у некоторой выбранной точки D тела наблюдается плоское напряжённое состояние (рис. 33а,б).
Теории прочности
При центральном растяжении (сжатии) в нормальных сечениях стержня возникают одни нормальные напряжения . Условие прочно
Вопросы для самопроверки
1. Что называют напряжённым состоянием в точке?
2. Какие виды напряжённого состояния могут быть?
3. Какие площадки и напряжения называют главным
Работоспособности
Машины, механизмы, приборы, аппараты и т. д. изготовляют из деталей. Деталью называют элемент конструкции, изготовленный из материала одной марки без применения сборочных опе
Проектирование
Проектирование предшествует конструированию и представляет собой поиск научно обоснованных, технически осуществимых и экономически целесообразных инженерных решений.
Процесс проекти
Разработки конструкторской документации
Конструированием создаётся конкретная однозначная конструкция изделия. Конструирование опирается на результаты проектирования и уточняет все инженерные решения, принятые при проектировани
Система автоматизированного производства
Усложнение конструкций изделий с целью повышения механизации и автоматизации, выполняемых ими работ, увеличение их разнообразия вызывают резкое возрастание объёма проектно-конструкторских работ (ПК
Взаимозаменяемость и стандартизация
Взаимозаменяемостью называется такой принцип конструирования и производства деталей, который обеспечивает возможность правильной сборки независимо изготовленных деталей и узлов без предварит
Изготовления деталей
Размеры детали определяются расчётом на прочность, жёсткость или устанавливаются конструктивно, исходя из общих требований к изделию, возможности монтажа. Затем эти размеры округляют до нормальных
Вопросы для самопроверки
1. Опишите типичный цикл жизни нового изделия.
2. Назовите основные элементы конструкций.
3. Работоспособность и критерии, характеризующие конструкции.
СОЕДИНЕНИЯ ДЕТАЛЕЙ МАШИН
Под соединением понимают жёсткое скрепление отдельных деталей механизма или машины. Оно осуществляется с помощью заклёпок, болтов, винтов, шпонок, сварки и т.д. Примен
Сварные соединения
Соединение частей в одно целое при сварке получается за счёт местного нагрева соединяемых частей до расплавленного или пластического состояния. Достоинства. Сварное соединени
Резьбовые соединения
Резьбовыми называются соединения, осуществляемые с помощью деталей, снабжённых резьбой: винты, болты, шпильки и гайки (рис. 13). Винт, свинчиваемый с гайкой, называют
Вопросы для самопроверки
1. Назовите виды соединения деталей.
2. С какой целью применяют различные соединения, и какими соображениями при этом руководствуются?
3. Виды нер
Применяемые материалы.
Валы и оси вращаются в опорах, в качестве которых служат подшипники качения и скольжения. Опорные части валов и осей называют цапфами, при этом концевые цапфы для подшипников скольжения назы
Подбор подшипников качения
Основным видом повреждения считают выкрашивание дорожек качения и тел качения подшипников под действием больших статических или кратковременных динамических нагрузок, образования вм
Определение коэффициентов X и Y
Если приложить к подшипнику, имеющему нулевой радиальный зазор, радиальную силу Fr, то под нагрузкой будет находиться приблизительно половина его тел качения. С ув
Вопросы для самоконтроля
1. Валы и оси. Назначение и классификация.
2. Конструктивные элементы валов и осей, применяемые материалы.
3. В чём принципиальное отличие торсионного вала от
Подбор муфт
Муфты выбирают в зависимости от диаметров соединяемых валов и передаваемого крутящего момента МК. Элементы муфты рассчитывают на прочность по значению расчётного крутящего момента
Муфты постоянного сцепления
Муфты постоянного сцепления служат для постоянного соединения вращающихся деталей в процессе работы механизма. Они деля
Муфты сцепные управляемые
Управляемые муфты делятся на муфты синхронные и фрикционные (асинхронные). К синхронным муфтам относятся
Муфты сцепные самоуправляющиеся
Самоуправляющиеся муфты служат для соединения или разъединения ведомого вала с ведущим при определённых условиях работы. К ним относятся: предохранительные муфты, огра
Вопросы для самопроверки
1. Муфты, их назначение и классификация.
2. По каким параметрам подбирают муфты?
3. Какие муфты относятся к муфтам постоянного сцепления? Их достоинства и недо
Основные параметры витых пружин.
Определение диаметра проволоки пружины
При работе цилиндрической винтовой пружины в осевых сечениях витков возникают напряжения кручения τk и среза τср, или суммарное напряже
Требования, предъявляемые к зубчатым зацеплениям
Зацепление, применяющееся в зубчатых передачах, должно обеспечить:
1. Постоянство передаточного отношения (i=ωвх/ωвых).
2. Н
Основной закон зацепления
Как было сказано, важнейшим требованием, предъявляемым к передачам, является постоянство передаточного отношения в любой момент зацепления пары колёс. Передача движения в зубчатых колёсах происходи
Уравнения эвольвенты
Эвольвентой (от лат. evolvens (evolventis) – разворачивающий) или развёрткой окружности называют плоскую кривую А0Y (рис. 54), которая
Эвольвентное зацепление
Пусть вращательное движения передаётся при помощи двух звеньев, профили которых выполнены по кривым Э1 и Э2, являющиеся эвольвентами основных окружностей радиусо
Прямозубых передач
За базу для определения элементов и размеров зубьев колёс принимается делительная окружность, являющаяся параметром станочного з
Коэффициент торцового перекрытия
Коэффициент торцового перекрытия учитывает непрерывность и плавность зацепления в передаче. Эти качеств
Вопросы для самопроверки
1. Для чего применяют передаточные механизмы? Виды передаточных механизмов, их основные внешние характеристики.
2. Зубчатые механизмы (передачи), область применения, достоинства
Библиографический список
1. Тарг, С.М. Краткий курс теоретической механики; М.: Высшая школа, 1995, − 416 с.
2. Теория механизмов и машин:Учеб.для втузов /под ред. К.В.Фролова.- М.: Вы
Новости и инфо для студентов