DP=f(v)·4πv2dv.

рис. 1 рис.2

F(v)=dP/dv=4πv²f(v)→ F(v)=

Это и есть закон распределения Максвелла по модулю скорости. Функция нормирована на единицу, т.е.:

 

 

16.Распределение молекул в поле сил тяжести.

Пусть имеется газ с массой молекул m₀, T = const, на k-ю молекулу действует сила F =mg. Требуется найти концентрацию n на высоте h.

- условие равновесия системы.

p = nkT; p(z+dz) - p(z)=dp=kTdn;

0 = - kTdn – gn(z)dz

=> , где n₀ – концентрация молекул на нулевом уровне (z = 0)

Т.о. получаем . Для того, чтобы вычислить количество молекул в слое толщиной z₂ - z₁, нужно посчитать интеграл

T₁ < T₂

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

17. Распределение Максвелла-Больцмана.

Распределения Максвелла и Больцмана являются составными частями единого распределения, называемого распределением Гиббса.

Оба разобранных нами распределения можно объединить в один закон распределения Максвелла-Больцмана, согласно которому число молекул, проекции скорости которых и их координаты лежат в интервалах

определяется выражением

где нормировочный множитель , ,

 

 

18.Барометрическая формула.

Известно, что атмосферное давление убывает с высо­той. Попытаемся найти функцию p(h), описывающую за­висимость давления от высоты.

Выделим мысленно в атмосфере вертикальный столб с площадью по­перечного сечения S, равной единице . Атмосферное давление на высоте h обусловлено весом столба воздуха, простирающегося от сечения, расположенного на данной высоте, до внешней границы атмосферы. Поэто­му на убыль давления -dp(dp означает приращение давления, которое отли­чается от убыли знаком) при переходе от высоты h к высоте h + dh, равна весу воздуха, заключенного в элементе столба высоты dh:

-dp = ρgdh (1),

где ρ — плотность воздуха на высоте h.

При условиях, близких к нормальным (т. е. при дав­лениях порядка 1 атм и температурах, близких к 0°С), воздух довольно хорошо подчиняется уравнению состоя­ния идеального газа. Плотность идеального газа определяется выражением

ρ = Мр/(RТ). Подстановка этого выражения в формулу (1) приводит к уравнению

(мы перенесли знак минус в правую часть равенства). Здесь под М подразумевается молярная масса воздуха, определенная с учетом относительного содержания в воз­духе азота, кислорода и других газов. Разделив перемен­ные, придем к дифференциальному уравнению

Чтобы проинтегрировать это уравнение, нужно знать, как изменяется с высотой температура, т. е. определить вид функции T(h) (зависимо стью g от h можно пренебречь). Для изотермической атмосферы, т. е. для случая, ко­гда температура с высотой не изменяется, интегрирование уравнения (2) приводит к соотношению

(имея в виду дальнейшие преобразования, мы обозначили постоянную интегрирования через lnC). Потенцируя это соотношение, придем к формуле

Положив h=0, получим, что С = р₀, где р₀ — атмосфер­ное давление на высоте, принятой за начало отсчета.

Таким образом, для изотермической атмосферы зави­симость давления от высоты описывается формулой

которая называется барометрической формулой.

 

 

19. Макро- и микросостояния. Статистический вес.

Макросостояние - это состояние тела, содержащего огромное число частиц (N ~ NA), заданное с помощью макроскоп.велич,характ.все тело в целом. Такими велич. могут быть давление p, объем V, температура T, внутренняя энергия U.

Задать микросостояние - это значит задать состояния всех частиц, из которых состоит макроскопическое тело.

В классической механике состояния материальной точки считается заданным, если задан ее радиус-вектор и вектор ее скорости . Величины и изменяются с течением времени непрерывно, поэтому в рамках классической механики нельзя ввести понятие "число состояний, в которых может находиться частица". Такая возможность появляется при описании микрочастиц на более глубоком, квантовом уровне, где величины, характеризующие состояние микрочастиц изменяются скачкообразно, дискретно.

Статистич.вес (статвес) - это число различн.микросост, соотв.данному макросостоянию.

Мы будем обозначать статвес греческой буквой Ω.

Энтропия S определяется как натуральный логарифм статистического веса макросостояния, умноженный на постоянную Больцмана

 

20. Энтропия и ее основные свойства.

В термодинамике энтропия определена как элементарное приращение . При этом энтропия является именно функцией состояния.

Рассмотрим необратимый процесс расширения ид. газа в пустоту. V₁ – первоначальный объем, V₀ – полный объем. В данном случае газ не совершает работу, переданное газу тепло равно нулю, следовательно, по первому началу т/д приращение внутренней энергии тоже равно нулю, т.е. температура конечного и начального состояний одинакова. Т.к. энтропия – функция состояния, то вычислим ее работу по изотермическому процессу (т.к. он обратим). В изотермическом процессе Q=A=νRTln(V₂/V₁) и ΔS=Q/T=νRln(V₂/V₁)=kNln(V₂/V₁), N – число молекул в газе.

Обозначим за P₁ = (V₁/V₀)^N вероятность попадания N молекул в объем V₁, а за P₂ = (V₂/V₀)^N вероятность их попадания в V₂. Тогда P₂/P₁ = (V₂/V₁)^N и можно записать

ΔS=kNln(V₂/V₁)=kln(V₂/V₁)^N =kln(P₂/P₁). А так как P~Ω, то получаем ΔS=kln(Ω₂/Ω₁) и приходим к формуле Больцмана

S = k lnΩ