Системы счисления и действия в них

Общая характеристика процессов сбора, передачи, обработки и накопления информации базируется на использовании кодирования информации средствами ее представления в виде чисел определенных систем счисления, в частности, двоичной, шестнадцатиричной.

Алфавит Х из р символов и правила записи (изображения) и обработки чисел с помощью символов этого алфавита называются системой счисления (нумерацией) с основанием р. Число х в системе с основанием р обозначается как (х)_р или х_р [1].

Любая система счисления– это система кодирования числовых величин (количеств), позволяющая выполнять операции кодирования и декодирования, то есть по любой количественной величине однозначно находить его кодовое представление и по любой кодовой записи – восстанавливать соответствующую ей числовую величину.

Все системы счисления строятся по общему принципу.

Определяется величина р – основание системы, любое число х записывается в виде комбинации степеней веса р от 0-й до n-й степени следующим образом:

(x)10 = xnpn + xn–1pn–1 + ... + x1p1 + x0p0.

Наиболее используемые в информатике системы счисления кроме десятичной – это:

1) двоичная, над алфавитом Х = {0,1};

2) восьмеричная, над Х = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7};

3) шестнадцатеричная, над Х = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, В, С, D, Е, F}, где символы А, В, С, D, Е, F имеют, соответственно, десятичные веса:

A	B	C	D	E	F

Пример. 1101₂ = 1 * 2³ + 1 * 2² + 0 * 2¹ + 1 * 2⁰ = 8 + 4 + 1 = 13₁₀,

157₈ = 1 * 8² + 5 * 8¹ + 7 * 8⁰ = 64 + 40 + 7 = 111₁₀,

A6F₁₆ = 10 * 16² + 6 * 16¹ + 15 * 1 = 2671₁₀.

Пример. Найти: 12₁₀ = ?₂. Решение:

12₁₀ = 8 + 4 = 1 * 2³ + 1 * 2² + 0 * 2¹ + 0 * 2⁰ = 1100₂.

Пример. Найти 29₁₀ = ?₈.

Решение имеет вид: 29₁₀ = 3 * 8¹ + 5 * 8⁰ = 35₈;

Пример. Найти 79₁₀ = ?₁₆.

Решение: 79₁₀ = 64+15= 4 * 16¹ + 15 * 16⁰ = 4F₁₆.

Для перевода из 2-ой в 8-ую системы счислений и наоборот, из 2-ной в 16-ную системы счислений и наоборот, из 8-ной в 16-ную и обратно используется таблица следующего вида:

 

 

ОСНОВАНИЕ СИСТЕМЫ

При переводе в 8-ную систему или из нее необходимо группировать информацию в тройки биты, а при переводе в 16-ную или из нее – группировать - в четверки битов. Можно добавлять, если нужно, незначащие нули слева от целой части или отбрасывать их.

Сложение в двоичной системе счисления осуществляется по правилам

0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1, 1 + 0 = 1, 1 + 1 = 2₁₀ = 10₂ (единица идет в старший разряд).

Таблица вычитания в двоичной системе счисления имеет вид

0 – 0 = 0, 1 – 0 = 1, 1 – 1 = 0, 0 – 1 = 10 – 1 = 1 (единица забирается из старшего разряда).

Таблица умножения в двоичной системе счисления имеет вид

0 x 0 = 0, 0 x 1 = 0, 1 x 0 = 0, 1 x 1 = 1.

Таблица деления в двоичной системе счисления имеет вид

0 : 0 = не определено, 1 : 0 = не определено, 0 : 1 = 0, 1 : 1 = 1.

Обратным кодом числа в системе с основанием р называется число в этой системе, получаемое заменой цифры, символа в каждом разряде числа на его дополнение до максимальной цифры в системе (то есть до р – 1).

Дополнительный код = обратный код + единица в младшем разряде.

Пример.

1. 10011 двоичное число,

01100 обратный код этого двоичного числа,

01101 дополнительный код этого двоичного числа;

2. 457 восьмеричное число,

320 обратный код этого восьмеричного числа,

321 дополнительный код;

3. А9 шестнадцатеричное число,

56 обратный код этого шестнадцатиричного числа,

57 дополнительный код.

Вычитание в ЭВМ идет с помощью дополнительного кода: найти дополнительный код вычитаемого такой же разрядности, как и уменьшаемое, и сложить этот код с уменьшаемым. Результатом вычитания будет полученная сумма без учета старшего разряда, который отбрасывается.

Пример. Произвести вычитание двоичных чисел через сложение уменьшаемого с дополнительным кодом вычитаемого.

- 1010101010

 

Решение.

а) расширим размерность вычитаемого до размерности уменьшаемого, добавив нуль слева, получим: 01010101010

 

б) вычислим обратный код к вычитаемому, получим: 10101010101

 

г) вычислим дополнительный код для вычитаемого, прибавив 1 к младшему разряду обратного кода, получим: 10101010110.

 

д) сложим уменьшаемое с полученным дополнительным кодом вычитаемого, получим:

+ 10101010110

____________

1)10100000001. (Старший разряд отбрасывается).

 

Что совпало с результатом прямого вычитания предыдущего примера.