П. 8. Корреляция

Теория корреляции применяется, как нам уже известно (См. тему «Случайные векторы», для установления связи между двумя случайными величинами Х и У и для установление тесноты этой связи. Х и У могут быть связаны либо функциональной зависимостью, либо зависимостью другого рода, называемой статистической, либо быть независимыми.

Определение 32.Статистической называют зависимость, при которой изменение одной из величин влечет за собой изменение закона распределения другой.

Определение 33. Статистическая зависимость называется корреляционной, если при изменении одной из величин изменяется среднее значение другой.

Определение 34. Условным средним называется среднее арифметическое наблюдавшихся значений случайной величины У, соответствующих Х = х.

Определение 35. Уравнение называется выборочным уравнением регрессии У по х.

Аналогично даются определения условного среднего и выборочного уравнения Х по у .

Условные средние и , которые находятся по выборке, принимают в качестве оценок условных математических ожиданий и .

Если обе линии регрессии – прямые, то корреляционную зависимость называют линейной. Для нормально распределенного вектора (Х, У) теоретические уравнения регрессии – линейные:

, ,

где и – выборочные средние случайных величин У и Х, и – выборочные средние квадратические отклонения, выборочный коэффициент корреляции.

. Величина характеризует, насколько близка связь между Х и У к линейной зависимости : 1) если , то считают, что линейной зависимости нет. 2) Чем ближе к 0, тем связь слабее; чем ближе к 1, тем связь сильнее: если, , то линии регрессии сливаются в одну линию, а случайные величины X и Y связаны между собой линейной функциональной зависимостью.

Определение 36.Уравнениеназывается выборочным уравнением парной регрессии.

Рассмотрим уравнение и найдем связь между коэффициентами уравнения и выборочными средними квадратическими отклонениями и выборочным коэффициентом корреляции. Для этого преобразуем уравнение:

исравним с уравнением , отсюда

, ,(14)

следовательно,выборочный коэффициент корреляции равен

или (15)

Замечание 1. Аналогично рассматривается выборочное уравнение парной регрессии .

Замечание 2. Формулы (14), (15) будут выведены в следующем пункте 9.

Пример.Дано выборочное уравнение парной регрессии и выборочные средние квадратические отклонения и . Найти выборочный коэффициент корреляции.