П. 8. Корреляция

П. 8. Корреляция

Теория корреляции применяется, как нам уже известно (См. тему «Случайные векторы», для установления связи между двумя случайными величинами Х и У и… Определение 32.Статистической называют зависимость, при которой изменение… Определение 33. Статистическая зависимость называется корреляционной, если при изменении одной из величин изменяется…

Решение.

.

Если располагаем n точками (х₁, у₁), (х₂, у₂),…, (х_n, у_n), полученными в результате n независимых опытов над системой (х, у), то в качестве приближенного значения неизвестного коэффициента корреляции берется выборочный коэффициент корреляции:

, (16)

где - выборочное мат. ожидание случайной величины Х, - выборочное мат. ожидание случайной величины У, выборочное мат. ожидание случайного вектора,

- выборочная дисперсия случайной величины Х, , - выборочная дисперсия случайной величины У, .

 

П. 9. Сглаживание экспериментальных зависимостей. Метод наименьших квадратов

Пусть в результате опыта был получен ряд экспериментальных точек (х1, у1), (х2, у2),…, (хn, уn). Если построить примерный график зависимости… Задача сглаживания экспериментальной зависимости состоит в такой обработке… Если вид зависимости у = f(x) до опыта известен из физических соображений, и на основании опытных данных требуется…

П. 10. Понятие о статистических гипотезах. Критерии согласия

Определение 37.Статистической гипотезой называется любое предположение о виде неизвестного закона распределения или о параметрах известного… Примеры статистических гипотез: 1) успеваемость группы вероятностно… Теория статистического оценивания используется всякий раз, когда необходим обоснованный вывод о преимуществах того или…

Критерии согласия

Определение 51. Критерии, которые позволяют судить, согласуются ли значения х1, х2,…, хn случайной величины Х с гипотезой относительно ее функции… Идея применения критериев согласия Пусть на основании данного статистического материала предстоит проверить гипотезу Н, состоящую в том, что СВ Х…

.

Величины называются теоретическими частотами. Тогда

. (*)

Величина случайная, определим ее распределение в предположении, что принятая гипотеза Н₀ верна.

 

Теорема Пирсона.Какова бы ни была функция распределения F(x) случайной величины Х, при распределение величины стремиться к - распределениюс k степенями свободы, то есть при в каждой точке х, где f(x) – плотность распределения случайной величины с k степенями свободы.

 

Распределение зависит от параметра k – числа степеней свободы, которое определяется как , где s – число неизвестных параметров распределения случайной величины Х, r - число интервалов группировки.

Если предполагаем закон распределения Х полностью определенным, то . Если, например, выдвигаем гипотезу о том, что закон распределения Х – нормальный, а его параметры и определяем по выборке, то .

Обычно с помощью теоремы Пирсона вводят критерий для поверки выдвинутой гипотезы Н₀: СВ Х распределена по нормальному закону, так как с увеличением степеней свободы распределение стремится к нормальному закону.

Для распределения составлены специальные таблицы (Таблица П5, стр. 412-413 задачника Ефимова), пользуясь которыми можно для каждого значения и числа степеней свободы k найти вероятность р того, что величина, распределенная по закону , превзойдет это значение.

 

Распределение дает возможностьоценить степень согласованности теоретического и статистического распределений. Будем исходить из того, что величина Х действительно распределена по закону F(x) . Тогда вероятность р, определенная по таблице, есть вероятность того, что за счет чисто случайных причин мера расхождения (отклонения) теоретического и статистического распределений U будет не меньше, чем фактически наблюдаемое в данной серии опытов значение .Если эта вероятность р весьма мала (настолько, что событие с такой вероятностью можно считать практически невозможным), то результат опыта следует считать противоречащим гипотезе Н₀ о том, что закон распределения величины Х есть F(x). Эту гипотезу следует отбросить как неправдоподобную. Напротив, если вероятность р сравнительно велика, можно признать расхождения между теоретическим и статистическим распределениями несущественными и отнести их за счет случайных причин. Гипотезу Н₀ о том, что величина Х распределена по закону F(x) можно считать правдоподобной или, по крайней мере, не противоречащей опытным данным.

 

Схема применения критерия к оценке согласованности теоретического и статистического (эмпирического) распределений:

1) Задают уровень значимости α.

2) Находят оценки параметров нормального закона и : или

z_i – середина интервала.

,или .

3) Вычисляют теоретические частоты по формуле , где ,и , примем- функцияЛапласа.

4) По формуле (*) находится величина _набл. – наблюдаемое значение критерия Пирсона.

5) Находят число степеней свободы .

6) По таблице критических точек распределения , по заданному уровню значимости α и числу степеней свободы находят критическую точку правосторонней критической области .

7) Если , то нет оснований отвергнуть гипотезу о нормальном распределении случайной величины Х. Если , то гипотезу отвергают.

 

Насколько мала должна быть вероятность р для того, чтобы отбросить или пересмотреть гипотезу, - вопрос неопределенный, он не может быть решен из математических соображений, так же как и вопрос о том, насколько мала должна быть вероятность события для того, чтобы считать его практически невозможным. На практике, если р оказывается меньшим, чем 0,1, рекомендуется проверить эксперимент, если возможно – повторить его и в случае, если заметные расхождения снова появятся, пытаться искать более подходящий для описания статистических данных закон распределения.

С помощью критерия (или любого другого критерия согласия) можно только в некоторых случаях опровергнуть выбранную гипотезу или отбросить ее как явно несогласную с опытными данными. Если же вероятность р велика, то этот факт сам по себе ни в коем случае не может считаться доказательством справедливости гипотезы, а указывает только на то, что гипотеза не противоречит опытным данным.

 

Замечание 1. Асимптотический характер теоремы Пирсона, лежащий в основе этого правила, требует осторожности при его практическом использовании. На него можно полагаться только при больших n. Достаточно велико должно быть и n, и все и произведения np_i. На практике рекомендуется иметь в каждом интервале не менее 5-10 наблюдений.

Критерийиспользует тот факт, что случайная величина ,, имеет закон распределения близкий к нормальному N(0, 1). Проблема применимости аппроксимации(непрерывное распределение) к статистике, распределение которой дискретно, оказалась сложной. Согласно имеющемуся опыту, аппроксимация применима, если все ожидаемые частоты np_i > 10. Если число различных исходов велико, граница для np_i может быть снижена: необходимо, чтобы для всех интервалов выполнялось условие .Если в некоторых интервалах это условие не выполняется, то их следует объединить с соседними.

Замечание 2. Если дано статистическое распределение выборки в виде последовательности равноотстоящих вариант и соответствующих им эмпирических частот:

xi	x1	x2	…	xr
ni	n1	n2	…	nr

 

то в этом случае теоретические частоты вычисляются по формуле: ,где , h –шаг (разность между двумя соседними вариантами), -функция Гаусса.

Пример. Дан статистический ряд:

 

xi xi	2,5	3,0	3,5	4,0	4,5	5,0	5,5	6,0	6,5
ni ni

 

Проверить гипотезу о нормальном распределении данной генеральной совокупности. Уровень значимости α = 0,01.

Решение.

2) . =1,25. .

.

7) Сравним и : . Так как , то гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности принимаем. Эмпирические и теоретические частоты различаются незначимо.

 

Пп. 2. Критерий Стьюдента.

Для определения достоверности разницы средних для двух выборок применяют метод (критерий) Стьюдента или t - критерий. Этот критерий применяется к… Пусть случайная величина Х имеет нормированное нормальное распределение, то… Определение 53.Распределением Стьюдентас n-1 степенью свободы называется распределение случайной величины , где , ,…

Пп. 3. Критерий Колмогорова.

Теорема Колмогорова. Какова бы ни была функция распределения F(x) непрерывной случайной величины Х, при неограниченном возрастании числа независимых наблюдений n (то есть при )вероятность неравенствастремится к пределу.

Значения вероятности приведены в таблице.

 

		0,7	0,711	1,4	0,04
0,1		0,8	0,544	1,5	0,022
0,2		0,9	0,393	1,6	0,012
0,3			0,27	1,7	0,006
0,4	0,997	1,1	0,178	1,8	0,003
0,5	0,964	1,2	0,112	1,9	0,002
0,6	0,864	1,3	0,068		0,001

Схема применения критерия Колмогорова следующая: строятся статистическая функция распределенияи предполагаемая теоретическая функция распределения F(x), и определяется максимум D модуля разности между ними.

 

Далее определяется величина и по таблиценаходится вероятность - вероятность того, что (если величина Х действительно распределена по закону F(x)) за счет чисто случайных причин максимальное расхождение между F(x) и будет не меньше, чем фактически наблюдаемое. Если вероятность весьма мала, гипотезу следует отвергнуть как неправдоподобную, при сравнительно больших ее можно считать совместимой с опытными данными.

Критерий А.Н. Колмогорова своей простотой выгодно отличается от критерия , поэтому его охотно применяют на практике. Но этот критерий можно применять только в случае, когда гипотетическое распределение F(x) полностью известно заранее из каких-нибудь теоретических соображений, то есть когда известен не только вид функции распределения F(x), но и все входящие в нее параметры. Такой случай редко встречается на практике. Обычно из теоретических соображений, известен только общий вид функции F(x), а входящие в нее числовые параметры определяются по данному статистическому материалу. При применении критерия это обстоятельство учитывается соответствующим уменьшением числа степеней свободы распределения . Критерий Колмогорова такого согласования не предусматривает.

Если все же применять этот критерий в тех случаях, когда параметры теоретического распределения выбираются по статистическим данным, критерий дает заведомо завышенные значения вероятности , поэтому в ряде случаев рискуем принять как правдоподобную гипотезу, в действительности плохо согласующуюся с опытными данными.