Критерии согласия

Определение 51. Критерии, которые позволяют судить, согласуются ли значения х₁, х₂,…, х_n случайной величины Х с гипотезой относительно ее функции распределения, называются критериями согласия.

Идея применения критериев согласия

Пусть на основании данного статистического материала предстоит проверить гипотезу Н, состоящую в том, что СВ Х подчиняется некоторому определенному закону распределения. Этот закон может быть задан либо в виде функция распределения F(x), либо в виде плотности распределения f(x), или же в виде совокупности вероятностей p_i. Так как из всех этих форм функция распределения F(x) является наиболее общей (существует и для ДСВ и для НСВ) и определяет собой любую другую, будем формулировать гипотезу Н, как состоящую в том, что величина Х имеет функцию распределения F(x).

Для того, чтобы принять или опровергнуть гипотезу Н, рассмотрим некоторую величину U , характеризующую степень расхождения (отклонения) теоретического и статистического распределений. Величина U может быть выбрана различными способами: 1) сумма квадратов отклонений теоретических вероятностей p_i от соответствующих частот , 2) сумма тех же квадратов с некоторыми коэффициентами (весами), 3) максимальное отклонение статистической (эмпирической) функции распределения от теоретической F(x).

Пусть величина U выбрана тем или иным способом. Очевидно, что это есть некоторая случайная величина. Закон распределения U зависит от закона распределения случайной величины Х, над которой производились опыты, и от числа опытов n. Если гипотеза Н верна, то закон распределения величины U определяется законом распределения величины Х (функцией F(x)) и числом n.

Допустим, что этот закон распределения известен. В результате данной серии опытов обнаружено, что выбранная мера расхождения U приняла некоторое значение u. Вопрос: можно ли объяснить это случайными причинами или же это расхождение слишком велико и указывает на наличие существенной разницы между теоретическим и статистическим (эмпирическим) распределениями и, следовательно, на непригодность гипотезы Н? Для ответа на этот вопрос предположим, что гипотеза Н верна, и вычислим в этом предположении вероятность того, что за счет случайных причин, связанных с недостаточным объемом опытного материала, мера расхождения U окажется не меньше, чем наблюдаемое в опыте значение u, то есть вычислим вероятность события: .

Если эта вероятность мала, то гипотезу Н следует отвергнуть как мало правдоподобную, если же эта вероятность значительна, то делаем вывод, что экспериментальные данные не противоречат гипотезе Н.

Возникает вопрос: каким же способом следует выбирать меру расхождения (отклонения) U? Оказывается, что при некоторых способах ее выбора закон распределения величины U обладает весьма простыми свойствами и при достаточно большом n практически не зависит от функции F(x). Именно такими мерами расхождения и пользуются в математической статистике в качестве критериев согласия.

Определение 51^/. Критерием согласия называется критерий проверки гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения.

Для количественных данных при распределениях, близких к нормальным, используют параметрические методы, основанные на таких показателях, как математическое ожидание и стандартное отклонение. В частности, для определения достоверности разницы средних для двух выборок применяют метод (критерий) Стьюдента, а для того чтобы судить о различиях между тремя или большим числом выборок, — тест F, или дисперсионный анализ. Если же имеем дело с неколичественными данными или выборки слишком малы для уверенности в том, что популяции, из которых они взяты, подчиняются нормальному распределению, тогда используют непараметрические методы — критерий χ² (хи-квадрат) или Пирсона для качественных данных и критерии знаков, рангов, Манна-Уитни, Вилкоксона и др. для порядковых данных.

Кроме того, выбор статистического метода зависит от того, являются ли те выборки, средние которых сравниваются, независимыми (т. е., например, взятыми из двух разных групп испытуемых) или зависимыми (т. е. отражающими результаты одной и той же группы испытуемых до и после воздействия или после двух различных воздействий).

Пп. 1. Критерий Пирсона (- хи-квадрат)

Пусть произведено n независимых опытов, в каждом из которых случайная величина Х приняла определенное значение, то есть дана выборка наблюдений случайной величины Х (генеральной совокупности) объема n. Рассмотрим задачу по проверке близости теоретической и эмпирической функций распределения для дискретного распределения, то есть требуется проверить, согласуются ли экспериментальные данные с гипотезой Н₀, утверждающей, что случайная величина Х имеет закон распределения F(x) при уровне значимости α. Назовем этот закон «теоретическим».

При получении критерия согласия для проверки гипотезы определяют меру D отклонения эмпирической функции распределения данной выборки от предполагаемой (теоретической) функции распределения F(x).

Наиболее употребительной является мера, введенная Пирсоном. Рассмотрим эту меру. Разобьем множество значений случайной величины Х на r множеств - групп S₁, S₂,…, S_r , без общих точек. Практически такое разбиение осуществляется с помощью (r - 1) чисел c₁ < c₂ < … < c_r-1. При этом конец каждого интервала исключают из соответствующего множества, а левый – включают.

S₁ S₂ S_{3 ….} S_r-1 S_r

c₁ c₂ c₃ c_r-1

Пусть p_i, , - вероятность того, что СВ Х принадлежит множеству S_i (очевидно ). Пусть n_i, , - количество величин (вариант) из числа наблюдаемых, принадлежащих множеству S_i (эмпирические частоты). Тогда относительная частота попадания СВ Х во множество S_i при n наблюдениях. Очевидно, что , .

Для разбиения, приведенного выше, p_i есть приращение F(x) на множестве S_i, а приращение на этом же множестве. Cведем результаты опытов в таблицу в виде группированного статистического ряда.

Границы группы	Относительная частота
S1: x1 – x2
S2: x2 – x3
…	…
Sr: xr – xr+1

Зная теоретический закон распределения, можно найти теоретические вероятности попадания случайной величины в каждую группу: р₁, р₂, …, p_r. Проверяя согласованность теоретического и эмпирического (статистического) распределений, будем исходить из расхождений между теоретическими вероятностями p_i и наблюдаемыми частотами .

За меру D расхождения (отклонения) эмпирической функции распределения от теоретической принимают сумму квадратов отклонений теоретических вероятностей p_i от соответствующих частот , взятых с некоторыми «весами» c_i: .

Коэффициенты c_i вводятся потому, что в общем случае отклонения, относящиеся к разным группам, нельзя считать равноправными по значимости: одно и то же по абсолютной величине отклонение может быть мало значительным, если сама вероятность p_i велика, и очень заметным, если она мала. Поэтому естественно «веса» c_i взять обратно пропорциональным вероятностям. Как выбрать этот коэффициент?

К.Пирсон показал, что если положить , то при больших n закон распределения величины U обладает весьма простыми свойствами: он практически не зависит от функции распределения F(x) и от числа опытов n, а зависит только от количества групп r, а именно, этот закон при увеличении n приближается к так называемому распределению «хи-квадрат» .

Определение 52.Распределением «хи-квадрат» с k степенями свободы называется распределение суммы квадратов k независимых случайных величин, каждая из которых подчинена нормальному закону с математическим ожиданием, равным нулю, и дисперсией, равной единице. Это распределение характеризуется плотностью , где x > 0, - гамма функция.

При таком выборе коэффициентов мера расхождения (отклонения) U обозначается :