Функция распределения.

Функция распределенияслучайной величины:

Свойства:

1)

2) при

3) ,

4) F(x) – непрерывна слева, т.е. , где

5)

6) , где

Пример 1. (Распределение Коши) Функция распределения с.в. x имеет вид F(x) = A + B arctg x. Найти а) постоянные А и В; б) , ,

Решение. а) Согласно свойству (3) имеем

Найдите A и B, используя полученные равенства

б) Найдем . Согласно свойству (6) . Так как F(x) – непрерывная функция, т.е. , получаем, что .

Найдите используя свойство (5).

Так как , то

Выборочная функция распределения.Пусть -наблюдаемые значения некоторой случайной величины. Выборочной функцией распределения называется следующая функция

, где n(x) – количество элементов выборки меньших x.

Пример 2. С помощью датчика случайных чисел была получена следующая выборка

Построить выборочную функцию распределения и сравнить с функцией равномерного распределения на отрезке [0,1]

Решение.Преобразуем полученную выборку в вариационный ряд, т.е. упорядочим элементы выборки:

Выборочная функция распределения строится по такому же принципу как и функция распределения дискретной случайной величины.

если , то n(x) = 0 и ,

если то n(x) = 1 и

если то n(x) = 2 и

если то n(x) = 3 и

если то n(x) = 5 и

На рисунке представлен график выборочной функции распределения Fn(x) и график функции равномерного распределения на отрезке [0,1].

Построение выборочной функции распределения обычно оформляют в виде следующей таблицы

В прикладных статистических исследованиях, если наблюдаемые признак носит непрерывный характер, то для удобства анализа график выборочной функции распределения изображают в виде ломаной.