№2 1.1-1.15, 4.1-4.15, 5.1-5.15, 6.1-6.15
№4 1.1-1.15, 6.1-6.15, 7.1-7.15
№5 2.1-2.15, 3.1-3.15
№6 1.1-1.15, 2.1-2.15, 3.1-3.15, 4.1-4.15
№7 1.1-1.15, 2.1-2.15, 4.1-4.15, 6.1-6.15, 7.1-7.15
№8 3.1-3.15
Лабораторная работа №2
Комплексные числа
Вопросы для самоконтроля
1. ПОСТРОЕНИЕ ПОЛЯ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
Пары действительных чисел, их сложение и вычитание. Свойства этих операций, нулевой, единичный, противоположный и обратные элементы. Поле комплексных чисел. Действительные числа как подполе поля комплексных чисел.
2. ДЕЙСТВИЯ НАД КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ В АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ФОРМЕ.
Число i. Алгебраическая форма комплексного числа. Сложение, вычитание, умножение и деление. Извлечение квадратного корня из комплексного числа в алгебраической форме.
3. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМА КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА.
Изображение комплексных чисел. Формула Муавра.
4. ИЗВЛЕЧЕНИЕ КОРНЯ ИЗ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА.
Определение корня n-й степени. Формула корней n-й степени из комплексного числа. Корни из единицы. Корни n-й степени из единицы для n≤4.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ И ОФОРМЛЕНИЯ ЗАДАЧ
Пример 1. Изобразить на плоскости и записать в тригонометрической форме числа: 1+i, -1+i , -1-i, 1-i.
Решение. Для каждого комплексного числа, откладывая действительную часть по оси ОХ, а мнимую по оси OY, получим четыре точки:P1(1;1), P2(-1;1), P3(-1;-1), P4(1;-1).
Все четыре числа имеют равные модули: |OP1|=|OP2|=|OP3|=|OP4|= = . Модуль комплексного числа a+biвычисляется по формуле r= , т.е равен длине радиус-вектора, проведенного из начала координат в точку, изображающую комплексное число. Аргумент комплексного числа равен величине угла, отсчитанного от оси ОХ против часовой стрелки до радиус-вектора, отображающего данное число. Для числа 1+i получаем arg(1+i)= 1= . Находим аргументы остальных комплексных чисел:
arg(-1+i)= 2=π- = ,
arg(-1-i)= 3=π+ = ,
arg(1-i)= 4=2π- = .
Используя найденные значения модулей и аргументов комплексных чисел, получаем
Ответ:
1+i= (cos +isin ),
-1+i= (cos +isin ),
-1-i= (cos +isin ),
1-i= (cos +isin ).
Пример 2. Вычислить (-1+i )6, .
Решение. Предоставим число -1+i в тригонометрической форме
r=| |= =2,
ag(-1+i )=φ.
Из чертежа видим, что π. Таким образом,
(-1+i )=2(cos +isin ).
ПоформулеМуавраимеем:
(-1+i )6=(2(cos +isin ))6=26(cos +isin )=26(сos4π+isin4π)=64.
Для вычисления корня из комплексного числа используем формулу
= (cos+isin),
K=0,1,…,n-1. Имеем: zk= = ( ), k=0,1,2,3.
Полагая k=0,1,2,3, получаем
Z0= (cos +isin )= +i ,
Z1= (cos +isin )= +i ,
Z2= (cos +isin )= -i ,
Z3= (cos +isin )= -i .
Пример 3. Вычислить в алгебраической форме.
Решение. Пусть =x+iy, где x,y – действительные числа. Тогда, возведя обе части равенства в квадрат, получим:
1-i=x2-y2+2xyi.
Из условия равенства комплексных чисел имеем систему уравнений относительно x и y:
Из второго уравнения выразим y и подставим в первое уравнение:
y= , (*)
x2- =1 или =0.
Решая последнее уравнение, найдем два значения для х:
1+
Х1= , Х2=- .
Подставляя найденные значения в (*), получим
y1=- , у2= .
Итак, имеет два значения:z1= -i , z2=- +i .
Пример 4. Найти действительные числа х и у из уравнения
= .
Решение. Преобразуем данное уравнение следующим образом:
- =0,
=0.
Отсюда получаем систему:
Из второго уравнения следует, что либо у=0, либо х=1.
Если у=0, то из первого уравнения либо х=0, либо х=-1. Но из области определения уравнения следует, что х и у не могут одновременно равняться нулю. Значит, остается решение х=-1, у=0.
Если х=1, то из первого уравнения у= .
Ответ: х=-1, у=0 или х=1, у= .
Пример 5. Решить систему уравнений:
Решение. Выразим х из первого уравнения системы:
х= .
Подставим найденное значение во второе уравнение системы и найдем у:
(1-i)(1+iy)+(1+i)y=1+3i,
y(1+i)=2i,
y= =1+i.
Тогда
x=1+i(1+i)=1+i+i2=i.
Проверка. Подставляя в исходную систему x=i, y=1+i, получим верные равенства
(1+i)i+(1-i)(1+i)=i+i2+1-i2=1+i,
(1-i)i+(1+i)(1+i)=i-i2+1+i+2i+i2=1+3i.
Ответ:x=1, y=1+i.
ЗАДАНИЕ К ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ
1. Найти z1+z2, z1-z2, z1∙z2, , .
z1
1.1 2+i,
1.2 -1+3i,
1.3 4-i,
1.4 -1+4i,
1.5 3-I,
1.6 -4+i,
1.7 1+3i,
1.8 4-i,
1.9 2-4i,
1.10 -3+2i,
1.11 -2+5i,
1.12 -4+3i,
1.13 5-2i,
z2
-3+2i.
2-i.
1-3i.
2-3i.
-2+i.
2-i.
-2+i.
-3+5i.
3+i.
5-i.
-1+i.
3-i.
3+4i.
1.14 -1-2i, 4-3i.
1.15 3-4i, 2+i.
4.Вычислить:
4.1 5(cos10°+isin10°)∙2(cos80°-isin280°).
4.2 3(cos50°-isin670°)∙2(cos290°+isin70°).
4.3 (cos220°+isin140°)/(cos50°-isin310°).
4.4 (cos130°-isin130°)/(cos40°+isin40°).
4.5 2(cos +isin )/6(cos -isin ).
4.6 (cos -isin )(cos +isin )∙7(cos -isin ).
4.7 5(cos109°+isin109°)/3(cos319°-isin319°).
4.8 3(cos20°+isin20°)∙2(cos200°-isin200°).
4.9 (cos80°-isin80°)(cos10°+isin10°)/(cos250°+isin110°).
4.10 5(cos -isin )∙(cos +isin ).
4.11 6(cos42°-isin42°)∙5(cos32°+isin32°).
4.12 (cos -isin )∙5(cos isin ).
4.13 3(cos110°-isin110°)/(cos140°-isin140°).
4.14 7(cos130°-isin130°)∙3(cos320°-isin320°).
4.15 3(cos10°-isin10°)(cos160°-isin160°)/(cos230°-isin230°).
5. Вычислить:
5.1. (1+i)25, , , .
5.2. , , , .
5.3. , , , .
5.4. , , , .
5.5. , , , .
5.6. , , .
5.7. , , , .
5.8. , , , .
5.9. , , , .
5.10. , , , .
5.11. , , , .
5.12. , , , .
5.13. , , , .
5.14. , , , .
5.15. , , , .
6. Решить уравнения:
6.1. -(2+i)x+(-1+7i)=0,
6.2. -3x+4=0, -(3-2i)x+(5-5i)=0.
6.3. (2+1) -(5-i)x+(2-2i)=0, 2 -3x+5=0.
6.4. +(2i-7)x+(13-i)=0, +3x+6=0.
6.5. -(1+i)x+6+3i=0, 3 -2x+3=0.
6.6. -5x++4+10i=0, -2 +x-1=0.
6.7. - +2x-2=0, (1-i) +(5-i)x+4+2i=0.
6.8. (3+i) +(1-i)x-6i=0, +x+2=0.
6.9. 3 -2x+4=0, 4 +(4-2i)x-4-3i=0.
6.10. -2 +3x-2=0, +2ix-1-i=0.
6.11. 4 +12x+8-i=0, 3 +5x+3=0.
6.12. 4 -4x+1+i=0, 2 -4x+5=0.
6.13. -2x+5=0, 2 +(2+2i)x+2+i=0.
6.14. +3x+5=0, +(2-1)x+1-i=0.
6.15. +(2+i)x+1+i=0, +5x+7=0.
Лабораторная работа №4
Матрицы и действия над ними
Вопросы для самоконтроля
1. МАТРИЦЫ И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ
k×l - матрица. Строки и столбцы, их запись. Равенство двух матриц. Квадратная матрица, диагонали. Единичная матрица. Сложение матриц и умножение матриц на число, основные свойства. Противоположная матрица.
2. УМНОЖЕНИЕ МАТРИЦ
Произведение строки на столбец. Умножение матриц и его свойства. Умножение на единичную матрицу. Дистрибутивность умножения матриц относительно сложения.
3. ТРАНСПОНИРОВАНИЕ
Транспонирование матиц и его свойства.
4. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ
Элементарные преобразования матриц 1-го и 2-го рода. Перестановка строк матрицы. Ступенчатая матрица и приведение произвольной матрицы к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований. Обратимость элементарных преобразований.
5. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И МЕТОД ГАУССА
Система линейных уравнений, ее неизвестные, коэффициенты и свободные члены. Матица системы, расширенная матрица. Матричная запись системы, столбец неизвестных, столбец свободных членов. Решения системы линейных уравнений. Совместная и несовместная система. Элементарные преобразования системы линейных уравнений. Равносильные системы. Ступенчатая система. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ И ОФОРМЛЕНИЯ ЗАДАЧ
Пример 1. Вычислить 2А-ВС, если
А= , В= , С= .
Решение.Перемножим матрицы В и С:
ВС= =
= =
= .
Так как
2А=2 = ,
то
2А-ВС= - = .
Ответ:2А-ВС= .
Пример 2. Решить систему матричных уравнений:
Решение:Умножим первое уравнение на 2 и сложим со вторым:
4X-2Y+3X+2Y=2 + ,
7X= ,
X= .
Из первого уравнения системы
Y=2X- =2 - = .
Ответ:X= , Y= .
Пример 3. Найти матрицы X= , удовлетворяющие уравнению f(X)=0, если f(x)=x2-4x+3.
Решение.Найдем значение трехчлена f(x)от Х
f(X)=X2-4X1+3X0= -4 +3 =
= - + =
= .
Тогда из равенства
=
получаем систему уравнений
Из второго уравненияy(-2x+4)=0 следует, что либо у=0, либо х=2.
Если у=0, то из первого уравнения системы получаем
х2-4х+3=0,
откуда х1=1, х2=3.
Если х=2, то из первого уравнения
у2=1 или у1=1, у2=-1.
Ответ:
Х1= , Х2= ,
Х3= , Х4= .
Пример 4.Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:
Решение. Выпишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований строк приведем ее к ступенчатому виду:
~ .
Мы ко второй строке, умножив на 2, прибавили первую, умноженную на 3; к третьей строке прибавили первую, умноженную на -2.
Теперь к третьей строке, умноженной на -2+11i, прибавим вторую, умноженную на 1+6i. Получим матрицу
,
которая является матрицей ступенчатого вида. Запишем систему, соответствующую этой матрице.
Преобразованная система имеет три уравнения с тремя неизвестными и, значит, единственное решение.
Из третьего уравнения системы х3=1. Подставляя х3=1 во второе уравнение, найдем х2=0. Из первого уравнения х1=1.