Задача № 3

 

В целях изучения стажа рабочих одного из цехов завода проведена 10%-ная механическая выборка, в результате которой получено следующее распределение рабочих по стажу работы:

 

Таблица 3.1

Стаж рабочих, лет	Число рабочих, чел
До 5 От 5 до 10 От 10 до 15 От 15 до 20 От 20 до 25 Свыше 25
Итого

 

На основании этих данных вычислите:

Средний стаж рабочих цеха.

Средний квадрат отклонений (дисперсию) и среднее квадратическое отклонение.

Коэффициент вариации.

С вероятностью 0,997 предельную ошибку выборочной средней и возможные границы, в которых ожидается средний стаж рабочих цеха.

С вероятностью 0,997 предельную ошибку выборочной доли и границы удельного веса числа рабочих со стажем работы от 10 до 20 лет.

Сделайте выводы.

Решение:

Для вычисления средней величины в каждой группе определяем серединное значение (середину интервала), после чего определяем средний стаж рабочих цеха по формуле средней арифметической взвешенной.

В закрытом интервале серединное значение определяем как полусумму верхней и нижней границ, открытые интервалы приравниваются к рядом стоящим. Кроме того, для расчёта дисперсии последовательно определяем отклонение каждой группы от средней, квадрат отклонения и произведение квадрата отклонения на число работников в группе. Расчёт производим в таблице 3.2.

 

Таблица 3.2

Расчет среднего квадратического отклонения

Стаж рабочих, лет	Число рабочих, чел. f	х	xf		( )2	( )2 f
До 5		2,5	12,5	-13,25	175,563	877,813
5-10		7,5		-8,25	68,0625	680,625
10-15		12,5	437,5	-3,25	10,5625	369,688
15-20		17,5	437,5	1,75	3,0625	76,5625
20-25		22,5	337,5	6,75	45,5625	683,438
св. 25		27,5		11,75	138,063	1380,63
Итого:		-		-	-	4068,75

 

Определим средний стаж рабочих цеха:

 

= = = 15,75 лет.

 

Определим среднее квадратическое отклонение:

σ = = 6,379 лет.

Дисперсия признака σ2 = = 40,688 лет.

Определим коэффициент вариации

 

V = %

 

Определим с вероятностью 0,997 предельную ошибку выборочной средней и возможные границы, в которых ожидается средний стаж рабочих цеха.

Так как выборка механическая, то ошибка выборочного наблюдения определяется по формуле:

 

Δх = t

 

При = 3μ и p = w 3μ степень вероятности повышается до 0,997.

Таким образом:

t = 3

σ2= 40,688 - дисперсия признака;

n = 15,75 - средний стаж рабочих цеха;

- это 10%-ная механическая выборка.

 

Δх = t

 

Доверительные интервалы для средней будут равны:

 

– Δх + Δх .

 

=15,75 лет. 4,574 года. или 15,75-4,57 15,75+4,57

С вероятностью 0,997 можно утверждать, что средний стаж рабочих цеха находится в пределах от 11,18 дней до 20,32 дней.

Определим с вероятностью 0,997 предельную ошибку выборочной доли и границы удельного веса числа рабочих со стажем работы от 10 до 20 лет.

Средняя ошибки для выборочной доли при бесповторном способе отбора рассчитывается по формуле:

 

Δw = t .

 

При = 3μ и p = w 3μ степень вероятности повышается до 0,997.

Таким образом:

t = 3;

n = 100 - численность рабочих цеха;

- это 10%-ная механическая выборка;

Определим w - удельный вес числа рабочих со стажем работы от 10 до 20 лет.

25+35=0,6 или 60%,

т.е. доля рабочих со стажем работы от 10 до 20 лет – 60%.

 

Δw = t или 13,9%.

Доверительные интервалы для доли будут равны:

 

p = w Δw .

 

p = 60% 13,9%, тогда 60% – 13,9% p 60% + 13,9%.

Доля числа рабочих со стажем работы от 10 до 20 лет будет находиться в пределах от 46,1 до 73,9% при вероятности 0,997.