Статистические оценки: несмещенные, эффективные, состоятельные

Состоятельной называют такую точечную статистическую оценку, которая при n стрем к бесконечн стремится по вероятности к оцениваемому параметру. В частности, если дисперсия несмещенной оценки при n стр к беск стремится к нулю, то такая оценка оказывается и состоятельной.

Рассмотрим оценку θ_n числового параметра θ, определенную при n = 1, 2, … Оценка θ_nназывается состоятельной, если она сходится по вероятности к значению оцениваемого параметра θ при безграничном возрастании объема выборки. Выразим сказанное более подробно. Статистика θ_n является состоятельной оценкой параметра θ тогда и только тогда, когда для любого положительного числа ε справедливо предельное соотношение

 

Пример 3. Из закона больших чисел следует, что θ_n = является состоятельной оценкой θ = М(Х) (в приведенной выше теореме Чебышёва предполагалось существование дисперсии D(X); однако, как доказал А.Я. Хинчин [6], достаточно выполнения более слабого условия – существования математического ожидания М(Х)).

Пример 4. Все указанные выше оценки параметров нормального распределения являются состоятельными.

Вообще, все (за редчайшими исключениями) оценки параметров, используемые в вероятностно-статистических методах принятия решений, являются состоятельными.

Пример 5. Так, согласно теореме В.И. Гливенко, эмпирическая функция распределенияF_n(x) является состоятельной оценкой функции распределения результатов наблюденийF(x)

Несмещенной называют такую точечную статистическую оценку Q*математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру: M(Q*)=Q

Второе важное свойство оценок – несмещенность. Несмещенная оценка θ_n – это оценка параметра θ, математическое ожидание которой равно значению оцениваемого параметра: М(θ_n) = θ.

Пример 6. Из приведенных выше результатов следует, что и являются несмещенными оценками параметров m и σ² нормального распределения. Поскольку М( ) = М(m**) = m, то выборочная медиана и полусумма крайних членов вариационного ряда m** - также несмещенные оценки математического ожидания mнормального распределения. Однако

 

поэтому оценки s² и (σ²)** не являются состоятельными оценками дисперсии σ²нормального распределения.

Оценки, для которых соотношение М(θ_n) = θ неверно, называются смещенными. При этом разность между математическим ожиданием оценки θ_n и оцениваемым параметром θ, т.е. М(θ_n) – θ, называется смещением оценки.

Пример 7. Для оценки s², как следует из сказанного выше, смещение равно

М(s²) - σ² = - σ²/n.

Смещение оценки s² стремится к 0 при n → ∞.

Оценка, для которой смещение стремится к 0, когда объем выборки стремится к бесконечности, называется асимптотически несмещенной. В примере 7 показано, что оценка s² является асимптотически несмещенной.

Практически все оценки параметров, используемые в вероятностно-статистических методах принятия решений, являются либо несмещенными, либо асимптотически несмещенными. Для несмещенных оценок показателем точности оценки служит дисперсия – чем дисперсия меньше, тем оценка лучше. Для смещенных оценок показателем точности служит математическое ожидание квадрата оценки М(θ_n – θ)². Как следует из основных свойств математического ожидания и дисперсии,

(3)

т.е. математическое ожидание квадрата ошибки складывается из дисперсии оценки и квадрата ее смещения.

Для подавляющего большинства оценок параметров, используемых в вероятностно-статистических методах принятия решений, дисперсия имеет порядок 1/n, а смещение – не более чем 1/n, где n – объем выборки. Для таких оценок при больших n второе слагаемое в правой части (3) пренебрежимо мало по сравнению с первым, и для них справедливо приближенное равенство

(4)

где с – число, определяемое методом вычисления оценок θ_n и истинным значением оцениваемого параметра θ.

Эффективной называют такую точечную статистическую оценку, которая при фиксированном n имеет наименьшую дисперсию.

С дисперсией оценки связано третье важное свойство метода оценивания –эффективность. Эффективная оценка – это несмещенная оценка, имеющая наименьшую дисперсию из всех возможных несмещенных оценок данного параметра.

Доказано [11], что и являются эффективными оценками параметров m и σ²нормального распределения. В то же время для выборочной медианы справедливо предельное соотношение

 

Другими словами, эффективность выборочной медианы, т.е. отношение дисперсии эффективной оценки параметра m к дисперсии несмещенной оценки этого параметра при больших n близка к 0,637. Именно из-за сравнительно низкой эффективности выборочной медианы в качестве оценки математического ожидания нормального распределения обычно используют выборочное среднее арифметическое.

Понятие эффективности вводится для несмещенных оценок, для которых М(θ_n) = θ для всех возможных значений параметра θ. Если не требовать несмещенности, то можно указать оценки, при некоторых θ имеющие меньшую дисперсию и средний квадрат ошибки, чем эффективные.

Пример 8. Рассмотрим «оценку» математического ожидания m₁ ≡ 0. Тогда D(m₁) = 0, т.е. всегда меньше дисперсии D( ) эффективной оценки . Математическое ожидание среднего квадрата ошибки d_n(m₁) = m², т.е. при имеем d_n(m₁) < d_n( ). Ясно, однако, что статистику m₁ ≡ 0 бессмысленно рассматривать в качестве оценки математического ожидания m.

Пример 9. Более интересный пример рассмотрен американским математиком Дж. Ходжесом:

 

Ясно, что T_n – состоятельная, асимптотически несмещенная оценка математического ожидания m, при этом, как нетрудно вычислить,

 

Последняя формула показывает, что при m ≠ 0 оценка T_n не хуже (при сравнении по среднему квадрату ошибки d_n), а при m = 0 – в четыре раза лучше.

Подавляющее большинство оценок θ_n, используемых в вероятностно-статистических методах, являются асимптотически нормальными, т.е. для них справедливы предельные соотношения:

 

для любого х, где Ф(х) – функция стандартного нормального распределения с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1. Это означает, что для больших объемов выборок (практически - несколько десятков или сотен наблюдений) распределения оценок полностью описываются их математическими ожиданиями и дисперсиями, а качество оценок – значениями средних квадратов ошибок d_n(θ_n).