Лежит в одной полуплоскости относительно любой прямой, содержащей его сторону
Билет №1.
1. Многоугольник называется выпуклым, если он
лежит в одной полуплоскости относительно любой прямой, содержащей его сторону.
Сумма углов выпуклого п-угольника равна 180° - (п - 2).
Свойства параллелограмма
Если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то такой четырехугольник – параллелограмм. Доказательство Пусть ABCD – данный четырехугольник. По условию AO… Если у четырехугольника пара противоположных сторон параллельны и равны, то четырехугольник – параллелограмм.Центральная и осевая симметрии
Центральная симметрия
Пример центральной симметрии Точки А и А1 – симметричные относительно точки О Рис.1Осевая симметрия
Осевая симметрия Точки А и А1 — симметричные относительно прямой а Рис.3Сравнение симметрий
Центральная и осевая симметрии
Построение треугольника (а) симметрично относительно оси (б) и точки (в)
Рис.5
2. Биссектриса (от лат. bi- «двойное», и sectio «разрезание») угла — луч с началом в вершине угла, делящий угол на два равных угла[1]
Билет№16.
Пропорциональные отрезки
пропорциональны отрезкам и , если . Например, отрезки AB и CD, длины которых равны 2 и 1 см, пропорциональны отрезкам и , длины которых равны 3 см… .Параллелограмм. Признаки параллелограмма
Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.
Теорема.
Если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм.
Доказательство.
Теорема.
Пусть ABCD – данный четырехугольник. AD параллельно BC и AD = BC. Тогда…Теорема.
Если в четырехугольнике противолежащие углы равны, такой четырехугольник – параллелограмм.
Доказательство.
Проведем диагональ DB. Сумма углов четырех угольника равна сумме углов… Билет№15.Теорема.
Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.
Доказательство.
2) Окружность, вписанная в треугольник. Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его… Билет№3.Средняя линия треугольника
Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.
Теорма о средней линии треугольника
Пусть MN — средняя линия треугольника ABC (рис 1). Докажем, что MN || AC и MN = 1/2 AC. Треугольники BMN и BAC подобны по второму признаку подобия треугольников (B —…Площадь прямоугольника
Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон:
S = ab.
Доказательство
Так как площадь квадрата равна квадрату его стороны, то площадь этого квадрата…Площадь параллелограмма
Теорема. Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту. Дано: параллелограмм – ABCD, основание AD=a, высота BK=h. Доказать: SABCD = a• hТеоремы о касательной к окружности.
Пусть ОМ— радиус окружности, СD_|_OМ (черт. 318). Требуется доказать, что СD— касательная к окружности. Доказательство. Если ОМ _|_СD, то расстояние от центра О до любой другой точки прямой СD больше радиуса ОМ,…Обратная теорема о касательной
Теорема (обратная). Если прямая проходит через точку A окружности и перпендикулярна радиусу с концом в точке A, то она касается окружности.
Докажи сам.
Билет№7.
1. Пифагоровы треугольники
Площадь трапеции
Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту:
S = ((AD + BC) / 2) · BH,
где высота трапеции — это перпендикуляр, проведенный из любой точки одного из оснований к прямой, содержащей другое основание.
Доказательство.
Рассмотрим трапецию ABCD с основаниями AD иBC, высотой BH и площадью S. Докажем, что S = ((AD + BC) / 2) · BH. Диагональ BD разделяет трапецию на два… SABC = AD · BH / 2, SBCD = BC · DH1.Теорема доказана.
1. S = mh, где m — средняя линия, h — высота трапеции. 2. Если трапеция равнобедренная, то S = 4r2 / sinα, где r — радиус… 3. , где a, b — основания, c и d — боковые стороны трапеции.Построения, основанные на свойствах прямоугольного треугольника
Даны два отрезка a и b. Постройте отрезок: а) x = ; б) x = ; в) x = . Решение. Первые два построения основаны на теореме Пифагора. а) x - гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами a и b .Теорема, обратная теореме Пифагора
Если в треугольнике со сторонами a, b и c выполняется равенство c2 = a 2 + b 2 , то этот треугольник прямоугольный, причем прямой угол противолежит… Доказательство. Рассмотрим треугольник, стороны которого равны a и b, а угол… Билет№9.Теорема Пифагора
Теорема
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.