Реферат Курсовая Конспект
Средняя и предельная ошибки выборки. Теоремы Чебышева - Ляпунова. - раздел Образование, Тема 1: Группировка статистических данных. 2 Ошибка Выборочного Наблюдения ‑ Это Разность Между...
|
Ошибка выборочного наблюдения ‑ это разность между величиной параметра в генеральной совокупности и его величиной, вычисленной по результатам выборочного наблюдения. Для среднего значения ошибка будет определяться так:
,
где ;
Величина называется предельной ошибкой выборки.
Предельная ошибка выборки величина случайная. Исследованию закономерностей случайных ошибок выборки посвящены предельные теоремы закона больших чисел. Наиболее полно эти закономерности раскрыты в теоремах П. Л. Чебышева и А. М. Ляпунова.
Теорему П.Л. Чебышева применительно к рассматриваемому методу можно сформулировать следующим образом: при достаточно большом числе независимых наблюдений можно с вероятностью, близкой к единице (т.е. почти с достоверностью), утверждать, что отклонение выборочной средней от генеральной будет сколько угодно малым. В теореме П. Л. Чебышева доказано, что величина ошибки не должна превышать . В свою очередь, величина , выражающая среднее квадратическое отклонение выборочной средней от генеральной средней, зависит от колеблемости признака в генеральной совокупности и числа отобранных единиц . Эта зависимость выражается формулой:
,
где зависит также и от способа производства выборки.
Величину называют средней ошибкой выборки и обозначают .
В этом выражении - генеральная дисперсия, n- объем выборочной совокупности.
А.М. Ляпунов доказал, что распределение выборочных средних (а следовательно, и их отклонений от генеральной средней) при достаточно большом числе независимых наблюдений приближенно нормально при условии, что генеральная совокупность обладает конечной средней и ограниченной дисперсией.
Математически теорему Ляпунова можно записать так:
,
где ; = 3,14 (математическая постоянная);
- предельная ошибка выборки, которая дает возможность выяснить, в каких пределах находится величина генеральной средней.
Значения этого интеграла для различных значений коэффициента доверия t вычислены и приводятся в специальных математических таблицах. В частности, при
t = 1 F (t) = 0,683; t = 1,5 F (t) = 0,866;
t = 2 F (t) = 0,954; t = 2,5 F (t) = 0,988;
t = 3 F (t) = 0,997; t = 3,5 F (t) = 0,999.
Поскольку t указывает на вероятность расхождения , т.е. на вероятность того, на какую величину генеральная средняя будет отличаться от выборочной средней, то это может быть прочитано так: с вероятностью 0,683 можно утверждать, что разность между выборочной и генеральной средними не превышает одной величины средней ошибки выборки. Другими словами, в 68,3% случаев ошибка репрезентативности не выйдет за пределы ±. С вероятностью 0,954 можно утверждать, что ошибка репрезентативности не превышает ±(т. е. в 95% случаев). С вероятностью 0,997, т.е. довольно близкой к единице, можно ожидать, что разность между выборочной и генеральной средней не превзойдет трехкратной средней ошибки выборки и т.д.
Логически связь здесь выглядит довольно ясно: чем больше пределы, в которых допускается возможная ошибка, тем с большей вероятностью судят о ее величине.
Для различных способов отбора предельная ошибка рассчитывается при проведении выборки по-разному.
Зная выборочную среднюю величину признака и предельную ошибку выборки , можно определить границы (пределы), в которых заключена генеральная средняя:
или
Теорема Бернулли была доказана раньше теоремы Чебышева - Ляпунова, но является лишь частным случаем последней. Она рассматривает ошибку выборки для альтернативного признака, т.е. признака, у которого возможны только два исхода: наличие признака (1) и отсутствие его (0).
Теорема Бернулли утверждает, что при достаточно большом объеме выборки вероятность расхождения между долей признака в выборочной совокупности (w) и долей признака в генеральной совокупности (р) будет стремиться к единице.
Из теоремы Бернулли следует, что величина расхождения между долей признака в выборочной совокупности (частостью) и долей этого признака в генеральной совокупности зависит, так же как и в расхождениях средних, от средней ошибки выборки.
Поскольку, а среднее квадратическое отклонение в генеральной совокупности для альтернативного признака равно , где , то средняя ошибка выборки для альтернативного признака будет найдена по формуле:
.
Однако доля признака в выборочной совокупности нам неизвестна, мы вынуждены заменить ее через долю того же признака в генеральной совокупности, т.е. принять , а дисперсию альтернативного признака принять за , тогда средняя ошибка выборки выразится формулой:
.
Предельная величина разности между частостью и долей называется предельной ошибкой выборки. О величине предельной ошибки можно судить с некоторой вероятностью, которая зависит от множителя t, поскольку .
Зная выборочную долю признака (w) и предельную ошибку выборки , можно определить границы, в которых заключена генеральная доля (р):
.
Уточнение формулы средней ошибки выборки. Если отбор единиц из генеральной совокупности произведен бесповторным способом, то в формулы средней ошибки выборки вносится поправка:
,
где - объем выборочной совокупности;
N - объем генеральной совокупности.
В таблице 5.2 приведены формулы расчета ошибок простой случайной выборки.
Таблица 5.2 – Формулы ошибок простой случайной выборки
Наименование ошибки | Способ отбора | |
повторный | бесповторный | |
Средняя ошибка : | ||
для средней | ||
для доли | ||
Предельная ошибка : | ||
для средней | ||
для доли |
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
Тема Группировка статистических данных... Тема Абсолютные относительные величины Тема Средние величины...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Средняя и предельная ошибки выборки. Теоремы Чебышева - Ляпунова.
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов