Лекция 13 Координатный метод задания объектов на плоскости и в пространстве
Лекция 13
Методы двухмерной графики
Координатный метод задания объектов на плоскости и в пространстве. Преобразование координат. Алгоритмы вывода линий. Алгоритмы закрашивания фигур.
Координатный метод задания объектов на плоскости и в пространстве. Преобразование координат
Фундаментом компьютерной графики является аналитическая геометрия, в основе которой лежит координатный метод — задание положения точек и объектов на плоскости или в пространстве с помощью системы координат. Наиболее часто используются прямоугольная или Декартова система координат, что связано как с ее широким применением в аналитической геометрии, так и с тем, что координаты пикселов в дисплеях и печатающих устройствах также задаются в прямоугольной системе координат.
Рассмотрим особенности координатного метода на плоскости. Положение точки в этом случае задается двумя числами — координатами x и y, рис. 13.1 а. Положение некоторого объекта может быть задано координатами некоторой базовой точки, являющейся центром его собственной (локальной) системы координат, и углом поворота этой системы координат относительно глобальной системы координат, связанной с экраном дисплея или листом бумаги в принтере. Пересчет координат точек из одной в другую систему координат называется преобразованием координат.
Пусть существует некий объект, имеющий свою систему координат (x, y), рис. 13.1 б. Форма объекта определяется набором точек, положение которых задано координатами в системе (x, y). Для того, чтобы отобразить его в некотором положении на экране, листе бумаги или в некотором более сложном изображении, необходимо пересчитать координаты этих точек в глобальную систему координат (X, Y). Пусть положение объекта задано координатами центра его локальной системы координат (X0, Y0) и углом поворота α. Рассмотрим три частных случая преобразования координат.
1. Сдвиг — центр локальной системы координат смещен в точку (X0, Y0), угол поворота равен нулю, рис. рис. 13.1 в. Координаты некоторой точки A объекта в новой системе координат составят:
(13.1)
где x, y – координаты точки A в системе координат объекта.
2. Поворот вокруг центра координат локальной системы на угол α, рис. 13.1 г. :
(13.2)
3. Масштабирование (сжатие/растяжение) с центром в начале координат — увеличение или уменьшение объекта, определяемое коэффициентами масштабирования kx и ky, рис. 13.1 д.:
(13.3)
Если kx = ky — объект масштабируется пропорционально; в противном случае происходит деформация объекта — неодинаковое растяжение или сжатие по разным направлениям.
Как видно из рис. 13.1 е., последовательно применяя масштабирование, поворот и смещение координат, можно расположить некоторый объект (геометрический примитив или фрагмент изображения) в произвольном положении. При этом формулы для пересчета координат будут иметь вид:
(13.4)
Подобные преобразования координат в аналитической геометрии называют аффинными. В общем виде они могут быть записаны в виде системы уравнений
(13.5)
Преобразования координат удобно выполнять в матричном виде. Константы A, B, …, F образуют матрицу преобразования, которая, будучи умноженной на матрицу-столбец координат (x, y), дает матрицу-столбец (X, Y). Чтобы учесть константы C и F, необходимо перейти к так называемым однородным координатам — добавить еще одну строку со значением, равным 1. Тогда (13.5) можем записать в виде
, (13.6)
или
, (13.7)
где w и W – матрицы координат в исходной и новой системах; А – матрица преобразования. Например для операций смещения, поворота и масштабирования получим матрицы соответственно
(13.8)
(13.9)
(13.10)
Тогда преобразование (13.4) запишем как
. (13.11)