Сигналов с неизвестной начальной фазой

Допущение о незнании начальной фазы сигнала является первым шагом на пути от гипотетического сигнала с полностью известными параметрами к реальному сигналу, поступающему на вход приёмника. Пусть амплитуда и частота сигнала известны, но положение сигнала на временной оси известно с точностью до периода высокой частоты, т.е. значение начальной фазы случайно и заранее неизвестно. Будем считать распределение фазы равновероятным в пределах от 0 до 2π:

.

В принципе схема оптимального приёмника должна остаться той же: нужно перемножать входное напряжение с опорным и результат суммирования подводить к пороговому устройству. Но должны появиться какие-то особенности. Так как фаза сигнала заранее неизвестна, то нельзя сфазировать опорное напряжение с сигналом и на выходе схемы умножения амплитуда напряжения U_умн будет пропорциональна косинусу разности фаз ψ_разн сигнала и опорного напряжения:

.

Следовательно, результат перемножения сигнала с опорным напряжением является случайной величиной. Чтобы устранить случайность изменения выходного напряжения, применяют два параллельных канала, опорные напряжения в которых сдвинуты по фазе на 90⁰ (рис.5.3). В таком устройстве на выходе первой схемы умножения получим амплитуду напряжения

,

а на выходе второй, при их симметричности,

.

 

 

Рис.5.3.Функциональная схема приёмника, оптимального для обнаружения сигналов с неизвестной начальной фазой.

 

Максимальные напряжения на выходе схем интегрирования будут пропорциональны амплитудам напряжения, поступающего от схем перемножения, поэтому

.

где а – соответствующий коэффициент пропорциональности.

Если теперь результаты интегрирования возвести в квадрат и сложить, то на выходе системы обработки получим от сигнала напряжение, максимум которого является постоянной величиной, на зависящей от фазы принятого сигнала:

.

Можно построить оптимальный приёмник и по значительно более простой схеме, в которой используется согласованный фильтр. Под воздействием сигнала в фильтре будут нарастать колебания. Амплитуда колебаний достигнет максимумам в некоторый момент времени t₀, зависящий от начальной фазы сигнала. При обнаружении полностью известного сигнала было точно известно положение момента t₀ на временной оси. Не зная начальной фазы сигнала можно определить положение момента t₀ только с точностью до периода высокой частоты Т₀. Но такой точности отсчёта совершенно не достаточно, так как за период высокочастотных колебаний выходное напряжение фильтра изменяется от максимального положительного значения до максимального отрицательного, отсчёт в произвольный момент не даст нужного эффекта. Для того чтобы обеспечить однозначность отсчёта напряжения, нужно после фильтра поставить амплитудный детектор, выделяющий огибающую колебаний U_дет. Тогда можно считать, что практически в любой момент времени в пределах периода Т₀ выходное напряжение системы обработки будет одинаково и равно максимальному значению. Следовательно, и в этом устройстве, схема которого изображена на рис.5.4, устранена случайность выбора выходного напряжения, вызванная незнанием начальной фазы сигнала.

 

 

Рис.5.4. Функциональная схема фильтрового варианта оптимального приёмника обнаружения сигнала

с неизвестной начальной фазой.

 

Рассмотрим рабочие характеристики приёмника, оптимального для обнаружения сигнала с неизвестной начальной фазой. Предположим, что используется приёмник с согласованным фильтром (рис.5.4). Это предположение не снижает общности результатов, которые не зависят от используемого варианта построения приёмника, но существенно упрощает математическую сторону задачи.

Огибающая нормального шума U_ш на выходе линейного узкополосного фильтра подчинена закону Релея:

.

Следовательно, вероятность ложной тревоги будет равна

.

(5.24)

Заменой переменного приводим интеграл в (5.24) к табличному

.

при U_ш=β, поэтому

.

Но так как , получим

.

(5.25)

Из этой формулы можно видеть, что при заданном соотношении сигнал/шум вероятность ложной тревоги определяется только значением выбранного порога. При β=0 вероятность ложной тревоги достигает единицы (любой шумовой выброс принимается за сигнал), а при β=∞ W_лт=0 – ни один шумовой выброс не может превысить порог.

Если на фильтр воздействуют и сигнал, и шум, то распределение огибающей результирующего напряжения U_с+ш на выходе согласованного фильтра подчинено обобщенному закону Релея

,

(5.26)

здесь I₀ – функция Бесселя нулевого порядка от мнимого аргумента;

U_с – максимальная амплитуда сигнала на выходе фильтра, которая является известной величиной.

Заменив величины U_с и σ_ш через q₀, придем к следующему выражению плотности распределения:

,

(5.27)

и вероятность правильного обнаружения

.

(5.28)

Формулы (5.25) и (5.28) могут быть использованы для вычисления вероятностей правильного обнаружения и ложной тревоги и построения характеристик приёмника; для определения W_по нужно приметь численное интегрирование.

Значительно удобнее пользоваться при расчётах приближенной формулой, связывающей W_по, W_лт и q₀:

.

(5.29)

Погрешность вычислений по формуле (5.29) не превышает 15% при W_лт ≤0,1 и W_по≥0,9.