Представление математической модели в форме графа

 

Учебные элементы параграфа:

1. Граф, орграф

2. Вершина, ребро (ветвь), дуга

3. Матрица смежности

4. Матрица инцидентности

5. Части орграфа

 

Совокупность объектов, существенные свойства которых описываются связями между ними, могут быть представленные в форме графа.

Если объект (узел) представлять вершиной (изображается окружностью), а связь с другим объектом ребром или ветвью (линией), то получим граф.

Граф — это множество вершин V, связь между которыми определяется множеством ребер E.

Формальное представление графа G = {V,E}, где

p - количество вершин

q - количество ребер.

 

Если связь имеет направление (ориентацию), тогда такой граф имеет название ориентированного графа (орграфа), а связи называют дугами.

Для представления математических моделей, как правило, используют орграф.

На рис. 2.11 показан орграф, который имеет 5 вершин и 7 дуг

Рис. 2.11. Ориентированный граф (орграф)

 

Вершины и дуги такого графа находятся в определенных отношениях.

Две вершины v_i и v_j, принадлежащих множеству вершин V графа G = {V,E}, получили название смежных, если они являются граничными вершинами ребра l_k принадлежащих множеству реберE.

Отношение смежности на множестве вершин графа определяют представив каждое ребро как пару смежных вершин, т.е.:

l_k={v_i,v_j}, где k = 1,2,3 ... q

v_i — начальная вершина, откуда дуга выходит;

v_j — конечная вершина, куда дуга входит.

Отношение смежности подается в виде матрицы [C_ij]_v= [pxp]. Для орграфа на рис. 2.8. матрица смежности имеет вид:

С_ij элемент матрицы равняется числу ребер, направленных от вершины v_i к вершине v_j.

Отношение инцидентности описывается матрицей A = [a_ij]_V,E = [pxq].

Если вершина v_i является концом (началом) дуги l_k, то говорят, что они инцидентны. Строки матрицы A соответствуют вершинам, а столбцы дугам. a_i,j -й элемент равняется +1, если v_i начальная вершина ребра l_j и равняется -1, если v_i конечная вершина ребра l_j. Если связи нет a_ij = 0.

Для приведенного выше орграфа матрица инцидентности имеет вид:

При описании математических моделей используют некоторые части орграфа:

Подграф — часть графа образованная некоторыми дугами и инцидентными им вершинами.

Суграф — часть графа, образованная с исходного изъятием некоторых дуг, при сохранении всех вершин.

Последовательность сопредельных дуг графа образовывают маршрут. Если в маршруте все дуги отличные, то он называется цепью. Замкнутая цепь образовывает цикл. Простой цикл (контур) не содержит повторяющихся вершин.

Связный граф имеет маршрут через все вершины.

Деревом графа называют связный подграф который не имеет циклов. Ветвями дерева называют дуги дерева, а хордами - ветви, которые удаляются при образовании подграфа.

Примеры подграфа, суграфа и дерева для орграфа рис. 2.11 представленные на рис.2.9.

Рис.2.12. Подграф (а),

суграф (б) и дерево графа (в).

Эквивалентную схему можно представить в форме графа. Место соединения базовых компонентов заменяется узлом, а компонент дугой. Например, эквивалентную схему механической системы на рисунке 2.6б, можно представить графом (рис.2.13).

 

 

 

 

 

 

б

 

Рис. 2.13 Граф механической системы «Тягач с прицепом»

 

Узлом графа является точка, где соединяются два и более компонента. В базовом узле соединяются все компоненты. В узле 1 соединяются три компонента: F, m₁, R₁. В узле 2 соединяются четыре компонента: L₁, m₂, R₂. В узле 3 соединяются три компонента: L₂, m₃, R₃. таким образом модель приобрела более формальный вид.

 

Вопросы для самоконтроля и подготовки к МК:

Чем граф отличается от орграфа?

5. Как различить маршрут, цикл, цепь, контур в графе?

6. Как получить дерево графа?

7. Чем ветвь дерева графа отличается от хорды?

8. Как закодировать граф для обработки на ЭВМ?

 

§ 2.3.3. Реализация аналитических математических моделей на ЭВМ

Учебные элементы параграфа:

1. Методика построения формальной ММ.

2. Методика моделирования на макроуровне.

3. Методика моделирования на метауровне.

 

 

При построении ММ сложного технического объекта, состоящего из нескольких физических подсистем, нужно:

1. Провести анализ объекта моделирования;

2. Выделить в объекте однородные физические подсистемы;

3. Получить эквивалентную структурную схему для каждой из них;

4. Установить связи между подсистемами;

5. Получить математическое описание в виде системы компонентных и топологических, уравнений в следующей форме.

 

1). (2.11)

 

где: U —вектор переменных: состояния, моделируемого объекта размерностью n;

F —вектор- функция;

t —время (начальные условия: ) . Это явная форма ОДУ.

2). Ф () = 0(2.12)

 

где: V — вектор фазовых переменных, достаточных для определения объекта, размерностью n ;

— вектор производных фазовых переменных по времени, причём вектор имеет только ненулевых элементов (n);

Ф— вектор-функция (начальные условия ).

При составлении эквивалентной схемы следует соблюдать следующие правила. Избегать последовательного соединения источника типа I и компонента типа L, поэтому между ними нужно вставлять диссипативный элемент R. Не допустимо параллельное соединение источника типа E и компонента типа C. В этом случае последовательно с C соединяется компонент R.

 

 

Построение формальной модели на макро уровне.

Используя описанную выше методику, составим формальную математическую модель для однородной электрической технической системы (рис. 2.14).