Метод масштабных преобразований - раздел Образование, КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ по курсу ГИДРОГАЗОДИНАМИКА Метод Масштабных Преобразований Рассмотрим На Примере Стационарного Изотермич...
Метод масштабных преобразований рассмотрим на примере стационарного изотермического движения вязкой жидкости при наличии сил тяжести. Процесс получения критериев может быть разделен на следующие этапы.
1) Постановка задачи. На плоскую вертикальную стенку (рис. 9.1) набегает поток со скоростью w0. У поверхности стенки формируется пограничный слой толщиной “d”. Задача эксперимента - исследовать поле скоростей и давлений в пограничном слое на участке l0.
Рисунок 9.1 - Движение вязкой жидкости у поверхности плоской стенки
Cтационарное движение вязкой жидкости может быть описано дифференциальными уравнениями Навье-Стокса и неразрывности. В векторной форме:
(9.1)
(9.2)
Из всех массовых сил действует только сила тяжести с ускорением g, направленным вдоль оси X. Поэтому в развернутом виде уравнения (9.1) и (9.2) примут вид :
(9.3)
(9.4)
Сформулируем условия однозначности. Т.к. движение стационарно, начальные условия не нужны. Граничные условия :
- вдали от тела, x<0
wx = w0; wy = wz = 0,
(т.е. на тело набегает одномерный поток )
- на поверхности тела (y=0; 0 £ x £ l0)
wx = wy = wz = 0.
В условия однозначности входят так же теплофизические свойства жидкости; плотность r и кинематическая вязкость n.
Анализ уравнений (9.3) и (9.4) и условий однозначности показывает, что они включают следующие величины:
- независимые переменные - координаты x, y, z, м;
- постоянные величины r,n,g,w0,l0, где
r - плотность, кг/м3,
n - коэффициент кинематической вязкости, м2/c,
g - ускорение силы тяжести м/с2,
w0 - характерная скорость, м/с,
l0 - характерный размер, м;
- зависимые переменные - wx ,wy ,wz, p, где
wx ,wy ,wz - компоненты скорости, м/с;
p - давление, Па.
Зависимые переменные однозначно определяются значениями независимых переменных и постоянных величин, т.е. необходимо определить следующие зависимости:
1) p = ¦1 (x,y,z,r,n,g,w0,l0)
2) wx = ¦2 (x,y,z,r,n,g,w0,l0) (9.5)
3) wy = ¦3 (x,y,z,r,n,g,w0,l0)
4) wz = ¦4 (x,y,z,r,n,g,w0,l0).
Таким образом, в математическом описании связанно 12 величин: x, y, z, r, n, g, w0, l0, p, wx, wy, wz, в т.ч. 4 независимых переменных (исходных величин), и имеется система 4-х уравнений
2) Приведение уравнений (9.3) и (9.4) к безразмерному виду. Выберем в качестве масштабов характерные скорость w0 и размер l0. Выполним масштабные преобразования в виде замены, обозначив прописными буквами безразмерные переменные:
x=l0×X; wx=w0×Wx;
y=l0×Y; wy=w0×Wy;
z=l0×Z; wz=w0×Wz;
Подставим замену в уравнения (9.3) и (9.4), при этом масштабы как постоянные величины можно вынести за операторы дифференцирования; после деления уравнения Навье-Стокса на комплекс получим систему следующих безразмерных уравнений :
(9.6)
. (9.7)
3) Выявление критериев подобия. В результате масштабных преобразований из размерных уравнений (9.3) и (9.4) получены безразмерные уравнения (9.6) и (9.7) , в которые входят следующие безразмерные величины:
- критерии - симплексы
определяющие:
определяемые:
- критерии - комплексы
определяемые: число Эйлера
определяющие - число Фруда
и число Рейнольдса .
Теперь зависимости определяемых параметров от определяющих имеет вид:
1. Еu= j1 (X,Y;Z; Re; Fr)
2. Wx= j2 (X,Y;Z; Re; Fr) (9.8)
3. Wy= j3 (X,Y;Z; Re; Fr)
4. Wz= j4 (X,Y;Z; Re; Fr).
В результате масштабных преобразований количество величин, характерных для процесса, уменьшилось с 12 до 9:
было: x, y, z, wx, wy, wz, p, r, n, g, l0, w0 ;
стало: X; Y; Z; Wx ; Wy ;Wz;eu ; Re; Fr
Сделаем проверку по второй теореме подобия. В 12-ти исходных величинах использованы три независимые единицы измерения (м, с, кг). В соответствие с теоремой Бэкингема n=12 , m=3; число безразмерных величин должно быть n-m=12-3=9.
4) Проведение исследований и обработка экспериментальных данных. После введения критериев подобия, характерных для данного явления, производят измерение полей скоростей и давлений на модели, а результаты обрабатывают и представляют в виде безразмерных эмпирических уравнений, например, в виде
. (9.9)
и т.д
где коэффициенты А1,А2 и т.д., а также степени a1, a2 , b1, b2, и т.д. – рассчитываются по экспериментальным данным. Полученные эмпирические уравнения (9.9) справедливы как для модели, так и для образца, т.е. для всего класса подобных явлений.
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Метод масштабных преобразований
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Условие равновесия (закон Паскаля)
Равновесие жидкости может иметь место либо в случае, когда она находится в состоянии покоя, либо когда она движется подобно твердому телу с одинаковой скоростью во всех точках объема (например, пер
Равновесие несжимаемой жидкости под действием сил тяжести
Рассмотрим простейший случай равновесия неподвижной массы несжимаемой жидкости, находящейся под воздействием только сил тяжести, ускорение которой направлено вертикально вниз. Если координатную ось
Равноускоренное движение жидкости в горизонтальном направлении
Рассмотрим движение жидкости в некотором сосуде (например, в цистерне) с горизонтальным ускорением a; жидкость находится под воздействием инерционной силы, а также под действием силы тяжести с уско
Уравнения гидростатики для сжимаемых сред
Рассмотрим равновесие сжимаемой жидкости (газа), находящейся под действием только сил тяжести. В качестве примера рассмотрим изменение давления воздуха по высоте атмосферы. Направим координатную ос
Статика двух газов. Дымовая труба
В некоторых промтеплоэнергетических установках, например, паровых котлах или промышленных печах, имеет место взаимное действие горячих газов (продуктов сгорания топлива), заполняющих установку, и о
Общие понятия. Два метода исследования движения
В кинематике рассматриваются общие свойства движения тел без выяснения причин его возникновения. По образному выражению Н.Е. Жуковского "кинематика есть геометрия движения". В отличие от
Поле скоростей и ускорений
Эйлерово поле скоростей выражается в виде
(3.1)
где wx(x,y,z,t), wy(x,y,z,t), wz(x,y,z,t
Линия тока, трубка тока, траектория
В потоке жидкости можно выделить воображаемую линию, в каждой точке которой вектор скорости в данный момент времени направлен по касательной к ней (рисунок 3.2). Такая линия называется линией тока.
Вихревое и безвихревое движение
Вихревым называют движение, при котором частицы жидкости вращаются вокруг собственных осей; если такого вращения нет, то движение называют потенциальным. При рассмотрении вихревого движения вводятс
Уравнение Навье-Стокса для сжимаемой жидкости
В случае движения сжимаемой вязкой жидкости в уравнении движения должна быть отображена сила внутреннего трения, обусловленная сдвигом слоев вследствие объемной деформации (сжатия или растяжения) ж
Уравнение Бернулли для идеальной несжимаемой жидкости
Рассмотрим стационарное движение элементарной струйки несжимаемой идеальной жидкости при условии, что компоненты скорости изменяются только в направлении соответствующих координатных осей. Если так
Уравнение Бернулли для потока реальной жидкости
Полученное выше уравнение Бернулли для идеальной жидкости (4.9) строго применимо лишь для элементарной струйки или трубки тока, в пределах которой скорость одинакова по сечению. Если рассматривать
Уравнение Бернулли в избыточных давлениях
В гидравлических расчетах газоходов, трубопроводов, систем удаления продуктов горения и т.д. обычно пользуются уравнением Бернулли, записанным для избыточных давлений, представляющих собой разность
Коэффициент трения
Значение коэффициента трения l зависит от режима течения, состояния внутренней поверхности стенки трубопровода, диаметра канала.
При ламинарном течении ( Rе < 2300, lgRe = 3,4) коэффици
Потери на местные сопротивления
Потери энергии на местные сопротивления появляются тогда, когда изменяется скорость или направление движения потока вследствие изменения сечения или изгиба канала, а также загромождения канала каки
Теорема Борда
Рисунок 5.12 - К теореме Борда
Теорема Борда дает возможность теоретического рас
Учет взаимного влияния местных сопротивлений
Значения коэффициентов местного сопротивления, приводимые в справочниках, получены экспериментально для потоков с выровненным полем скоростей на входе. Полное выравнивание скоростей по сечению прои
Гидростатические потери (потери геометрического давления)
Гидростатические потери энергии возникают тогда, когда канал изменяет положение по высоте, а плотность движущейся по каналу жидкости отличается от плотности окружающей среды. Расчет потерь производ
Общие принципы расчета сложных гидравлических систем
В промтеплоэнергетике к сложным системам относятся трубопроводы для подачи воздуха, газообразного и жидкого топлива, воды к паровым котлам или промышленным печам, паропроводы, трубопроводы систем т
ИСТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ ЧЕРЕЗ ОТВЕРСТИЯ, НАСАДКИ И СОПЛА
Истечение капельных жидкостей, а также сжимаемых и несжимаемых газов происходит при работе таких устройств промтеплоэнергетики, как форсунки, газовые горелки, выхлопные трубы, газов
Истечение сжимаемых газов (газов высокого давления )
Истечение газов высокого давления является термодинамическим процессом расширения и подробно рассматривается в курсе, технической термодинамики, здесь же излагается лишь методика расчета, основными
Кавитация
На участке некоторых местных сопротивлений скорость потока жидкости (капельной) резко возрастает, статическое давление падает и, если оно становится ниже давления насыщения паров рнп, то
Гидравлический удар в трубопроводах
Под термином «гидравлический удар» подразумевается неустановившееся движение жидкости с практически ощутимыми колебаниями давления, которые могут быть опасными для прочности трубопроводов. Гидравли
Некоторые понятия теории гидродинамического пограничного слоя
Уравнения движения реальной жидкости Навье-Стокса весьма сложны, и их аналитическое решение, т.е. получение полей скоростей, ускорений и давлений для конкретных условий, является пока неразрешимой
Струя во встречном и спутном потоках
На практике в промтеплоэнергетических установках свободная струя развивается не в спокойной среде, а во встречном, спутном или сносящем потоках. На рисунке 8.6 показаны эпюры скоростей в спутном и
Струя, ограниченная параллельной плоскостью
Если направить струю параллельно твердой плоскости, расположенной на небольшом расстоянии от оси струи (рисунок 8.7), то дальнобойность струи увеличится; струя, развивавшаяся до встречи с плоскость
Струя, атакующая поверхность под углом
Если направить струю под углом b к плоскости (рисунок 8.8), то с увеличением угла атаки сплющивание увеличивается, а угол растекания можно определить по формуле В.И. Миткалинного:
aра
Струя, втекающая в полость. Струйный аппарат
Если свободную струю ограничить со всех сторон на некотором расстоянии от сопла (рисунок 56), то поверхность струи, увлекающая окружающую среду, сокращается, нерастраченная энергия расходуется на с
Задачи исследований. Гидравлическое моделирование и теория подобия
В практике проектирования, эксплуатации и реконструкции промтеплоэнергетических установок (ПТУ) возникают проблемы с получением информации о распределении скоростей, ускорений и давлений в объеме и
Основы теории подобия
Понятие физического подобия справедливо для явлений одной и той же природы, т.е. которые качественно одинаковы и описываются одинаковыми уравнениями, как по форме, так и по содержанию.
Тео
Метод анализа размерностей
Рисунок 9.2 - К исследованию силы лобового сопротивления аппарата
Метод анализа разме
Метод гидравлического моделирования
Метод гидравлического моделирования - это метод изучения гидрогазодинамических процессов тех или иных объектов промтеплоэнергетики на моделях. Теория подобия определяет следующие требования к модел
Расчет модели
Расчету модели предшествует выбор моделирующего агента, а также геометрического масштаба модели. В качестве моделирующего агента выбирают воздух или воду в зависимости от того, какие задачи ставят
Общие понятия
Рисунок 10.1 - Схема движения пароводяной смеси в обогреваемой (а) и не обогреваемой (б) трубах
Контур естественной циркуляции
В паровых котлах с естественной циркуляцией движение воды и пароводяной смеси в испарительной системе осуществляется за счет давления, создаваемого разностью плотности воды в опускных трубах и паро
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Рисунок 9.1 - Движение вязкой жидкости у поверхности плоской стенки
(9.1)
(9.2)
(9.3)
(9.4)
получим систему следующих безразмерных уравнений :
(9.6)
. (9.7)
.
(9.9)
Новости и инфо для студентов