С распределенным лагом

Рассмотрим модель с распределенным лагом в ее общем виде в предположении, что максимальная величина лага конечна:

.

Данная модель говорит о том, что если в некоторый момент времени t происходит изменение независимой переменной x, то это изменение будет влиять на значения переменной y в течение l следующих моментов времени.

Коэффициент регрессии при перемеренной характеризует среднее абсолютное изменение при изменении на 1 единицу своего измерения в некоторый фиксированный момент времени , без учета воздействия лаговых значений фактора . Этот коэффициент называют краткосрочным мультипликатором.

В момент совокупное воздействие факторной переменной на результат составит условных единиц, в момент это воздействие можно охарактеризовать суммой и т. д. Полученные таким образом суммы называют промежуточным мультипликаторами.

С учетом конечной величины лага можно сказать, что изменение переменной в момент на 1 у.е. приведет к общему изменению результата через моментов времени на абсолютных единиц.

Введем следующее обозначение:

Величину называют долгосрочным мультипликатором, который показывает абсолютное изменение в долгосрочном периоде результата под влиянием изменения на 1 ед. фактора .

Предположим,

.

Назовем полученные величины относительными коэффициентами модели с распределенным лагом. Если все коэффициенты имеют одинаковые знаки, то выполняются условия и . Каждый из коэффициентов измеряет долю от общего изменения результативного признака в момент времени .

Зная величины , можно определить еще две важные характеристики: величину среднего и медианного лагов.

Средний лаг вычисляется по формуле

и представляет собой средний период, в течение которого будет происходить изменение результата под воздействием изменения фактора в момент времени t. Небольшая величина среднего лага свидетельствует об относительно быстром реагировании результата на изменение фактора, тогда как высокое его значение говорит о том, что воздействие фактора на результат будет сказываться в течение длительного периода времени.

Медианный лаг – это величина лага, для которого . Это период времени, в течение которого с момента времени t будет реализована половина общего воздействия фактора на результат.

 

Лаги, структуру которых можно описать с помощью полиномов, называют лагами Алмон.

Формально модель зависимости коэффициентов от величины лага j в форме полинома можно записать так:

.

Тогда каждый из коэффициентов модели можно выразить следующим образом:

(*)

Подставив данные соотношения в модель, и перегруппировав слагаемые, получим

Введем новые обозначения

……………………………………………..

.

Тогда модель с распределенным лагом будет выглядеть следующим образом:

.

Процедура применения метода Алмон для расчета параметров модели с распределенным лагом выполняется следующим образом:

1. Определяется максимальная величина лага l.

2. Определяется степень полинома k, описывающего структуру лага.

3. Рассчитываются значения переменных .

4. Определяются параметры уравнения линейной регрессии по данным значениям и .

5. С помощью соотношений (*) рассчитываются параметры исходной модели с распределенным лагом .

Пример.

В таблице представлены данные по региону о месячном доходе на душу населения (x) и денежных расходах населения (y) по месяцам за 2 года.

 

 

y

x

y

x

 

 

Задание.

I. Построить модель с распределенным лагом используя лаги от одного до трех месяцев

При этом необходимо:

1. применить обычный МНК;

2. применить метод Алмон, исходя из предположения, что лаг имеет линейную структуру ;

3. Рассчитать средний и медианный лаги.

II. Построить модель с распределенным лагом используя лаги от одного до четырех месяцев

.

При этом необходимо:

1. применить обычный МНК;

2. применить метод Алмон, исходя из предположения, что структура лага описывается полиномом второй степени , где

3. Рассчитать средний и медианный лаги.

 

I. Выполняем расчет для регрессии через Анализ данных/Регрессия. Для этого строим вспомогательную таблицу

Протокол расчета :

ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R	0,997244635
R-квадрат	0,994496863
Нормированный R-квадрат	0,993121078
Стандартная ошибка	5,802269075
Наблюдения
Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия		97343,91021	24335,97755	722,85812	7,53348E-18
Остаток		538,6612227	33,66632642
Итого		97882,57143
	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение
Y-пересечение	-8,212350419	4,986282848	-1,646988482	0,1190561
Переменная X 1	0,618169232	0,149223144	4,142582811	0,0007651
Переменная X 2	-0,056537753	0,206740199	-0,273472472	0,787987
Переменная X 3	0,323694928	0,20619296	1,569864111	0,136009
Переменная X 4	0,066599661	0,154758466	0,430345831	0,672684

То есть модель имеет вид

.

Удовлетворительным результат назвать нельзя, поскольку

· вычисленные коэффициенты не являются статистически значимыми (вероятность ошибки их расчета значительно превышают допустимый уровень в 0,05);

· коэффициенты имеют разные знаки, что противоречит здравому смыслу: влияние признака x в разные периоды не может быть разнонаправленным.

 

2) Применяем метод Алмон для расчета параметров модели

.

а) Структура лага линейная, т.е.

Необходимо преобразовать исходные данные в новые переменные . Это преобразование выглядит следующим образом:

.

y	x
		z0	z1

 

Строим регрессию

Протокол расчета

Регрессионная статистика
Множественный R	0,99673
R-квадрат	0,993471
Нормированный R-квадрат	0,992745
Стандартная ошибка	5,958766
Наблюдения
Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия		97243,44739	48621,72369	1369,360199	2,15734E-20
Остаток		639,1240428	35,50689127
Итого		97882,57143
	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение
а	-7,81343	5,112546309	-1,528284687	0,143824277
с0	0,413363	0,083158004	4,970810164	9,88999E-05
с1	-0,11675	0,056121391	-2,080299087	0,052057898

 

По найденным коэффициентам находим параметры , а именно

Получили модель с распределенным лагом

.

Эта регрессия лишена недостатков предыдущей:

· вычисленные коэффициенты являются статистически значимыми (вероятность ошибки их расчета почти не превышают допустимый уровень в 0,05);

· коэффициенты имеют одинаковые знаки.

Сравним исходные данные и результаты регрессии:

			116,1747	1,380007	12736,73469
			127,7237	39,39197	8809,163265
			138,3324	40,09969	9188,591837
			148,9222	15,38369	6865,306122
			156,4765	0,22705	5163,44898
			164,28	7,398396	3703,591837
			174,8603	9,857755	2485,734694
			192,9347	82,17878	668,5918367
			214,4897	0,239842	192,0204082
			223,8711	1,274391	8,163265306
			234,7261	5,170752	83,59183673
			245,7482	22,5451	172,7346939
			257,1173	172,0626	260,5918367
			266,5144	110,5516	792,0204082
			273,223	4,941541	1861,306122
			278,5463	89,37272	3617,163265
			285,8544	9,895109	3738,44898
			296,9458	0,002938	4780,734694
			310,1861	3,290132	7080,020408
			330,1949	23,08866	11479,59184
			347,8782	0,771296	14195,02041
Среднее	227,8571
Сумма				639,124	97882,57143

 

Для оценки качества построения модели сравниваем остаточную и общую дисперсии. Отношение суммы квадратов остатков регрессии к общей сумме квадратов отклонений уровней ряда от его среднего значения равно

.

Построенная модель достоверна на больше, чем на 99%.

Рассчитаем средний и медианный лаг по построенной модели временного ряда. Для удобства данные сводим в таблицу

Лаг, j	Коэффициенты модели	Относительные коэффициенты ,	Средний лаг	Медианный лаг –величина лага, для которого .
	0,41	0,43
	0,3	0,31
	0,18	0,19
	0,06	0,07
Выводы: Такая величина среднего и медианного лагов свидетельствует об относительно быстром реагировании результата на изменение фактора, в основном в текущем и следующем за текущим периоде.

 

 

II. Строим модель с распределенным лагом в четыре временных периода, исходя из гипотезы о квадратичной структуре лага .

Тогда

.

Преобразование для вспомогательных переменных выглядит следующим образом:

;

.

Строим регрессию .

y	x
		z0	z1	z2

Протокол расчета

ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R	0,996328351
R-квадрат	0,992670183
Нормированный R-квадрат	0,991295843
Стандартная ошибка	6,222115169
Наблюдения
Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия		83889,56453	27963,18818	722,28832	2,77251E-17
Остаток		619,4354747	38,71471717
Итого
	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение
a	-6,683191872	6,247481362	-1,069741786	0,3006088
с0	0,457847985	0,116502829	3,929930209	0,0011959
с1	-0,239601907	0,191844893	-1,248935549	0,2296532
с2	0,035280787	0,047693437	0,739740933	0,4701727

По найденным коэффициентам находим параметры , а именно

Получили модель с распределенным лагом в четыре периода:

.

Сравним исходные данные и результаты регрессии:

			128,6768	28,33637171	8809,163265
			138,3068	39,77582876	9188,591837
			148,7868	14,3399158	6865,306122
			155,7168	0,080197636	5163,44898
			164,2568	7,525101647	3703,591837
			175,2768	7,415773972	2485,734694
			194,0068	63,8911163	668,5918367
			214,6868	0,471705405	192,0204082
			221,4068	12,91102783	8,163265306
			232,8968	16,83618354	83,59183673
			245,8768	23,78325752	172,7346939
			257,4968	182,1638296	260,5918367
			265,2268	85,13398823	792,0204082
			272,2668	1,604802833	1861,306122
			278,0368	99,26519228	3617,163265
			285,9668	9,200252932	3738,44898
			297,3368	0,113439715	4780,734694
			310,1568	3,397356277	7080,020408
			330,1268	23,74799902	11479,59184
			346,7768	0,049814612	14195,02041
Среднее	227,8571
Сумма				620,0431557	85145,83673

 

Для оценки качества построения модели сравниваем остаточную и общую дисперсии. Отношение суммы квадратов остатков регрессии к общей сумме квадратов отклонений уровней ряда от его среднего значения равно

.

Построенная модель также как и предыдущая достоверна больше, чем на 99%.

 

Задание для самостоятельной работы

 

Вариант 1	Вариант 2	Вариант 3	Вариант 4	Вариант 5
x	y	y	x	y	x	x	y	x	y
		3,5	1,51	70,8	101,7
	6,5	3,6	1,5	98,7	101,1				6,5
	6,8	3,7	1,53	97,9	100,4				6,8
		3,7	1,53	99,6	100,1
	7,4	3,8	1,55	96,1					7,4
		3,9	1,58	103,4	100,1
	8,2	4,1	1,62	95,5					8,2
	8,7	4,2	1,65	102,9	105,8				8,7
		4,3	1,63	77,6
		4,4	1,65	102,3	99,8
	10,5	4,5	1,67	102,9	102,7				10,5
		4,5	1,64	123,1	109,4
		4,6	1,69	74,3
	12,8	4,7	1,74	92,9	106,4				12,8
		4,9	1,8		103,2
		4,8	1,75	99,8	103,2
		4,8	1,65	105,2	102,9
			1,73	99,7	100,8
		5,1	1,81	99,7	101,6
	23,1	5,3	1,87	107,9	101,5				23,1
		5,4	1,88	98,8	101,4
		5,4	1,8	104,6	101,7
		5,4	1,84	106,4	101,7
				122,7	101,2

 

Вариант 6	Вариант 7	Вариант 8	Вариант 9	Вариант 10
y	x	x	y	y	x	y	x	x	y
98,7	101,1			70,8	101,7	3,5	1,51		6,8
97,9	100,4			98,7	101,1	3,6	1,5
99,6	100,1			97,9	100,4	3,7	1,53		7,4
96,1				99,6	100,1	3,7	1,53
103,4	100,1			96,1		3,8	1,55		8,2
95,5				103,4	100,1	3,9	1,58		8,7
102,9	105,8			95,5		4,1	1,62
77,6				102,9	105,8	4,2	1,65
102,3	99,8			77,6		4,3	1,63		10,5
102,9	102,7			102,3	99,8	4,4	1,65
123,1	109,4			102,9	102,7	4,5	1,67
74,3				123,1	109,4	4,5	1,64		12,8
92,9	106,4			74,3		4,6	1,69
	103,2			92,9	106,4	4,7	1,74
99,8	103,2				103,2	4,9	1,8
105,2	102,9			99,8	103,2	4,8	1,75
99,7	100,8			105,2	102,9	4,8	1,65
99,7	101,6			99,7	100,8		1,73		23,1
107,9	101,5			99,7	101,6	5,1	1,81
98,8	101,4			107,9	101,5	5,3	1,87
				98,8	101,4	5,4	1,88