Розділ 3. Динаміка

Динаміка – розділ механіки, в якому вивчаються закони руху матеріальних тіл під дією сил. Основні закони механіки (закони Галілея – Ньютона): закон інерції (1-ий закон): матеріальна точка зберігає стан спокою рівномірного прямолінійного руху до тих пір, доки дія інших тіл не змінить цей стан; основний закон динаміки ( 2-ий закон (Ньютона)): прискорення матеріальної точки пропорційно прикладеній до неї силі та має однаковий з нею напрямок ; закон рівності дії та протидії (3-ій закон (Ньютона)): всілякій дії відповідає рівна та протилежно направлена протидія; закон незалежності сил: декілька одночасно діючих на матеріальну точку сил повідомляють точці таке прискорення, яке б повідомила їй одна сила, яка дорівнює їх геометричній сумі. В класичній механіці маса тіла, яке рухається приймається рівній масі тіла в стані спокою, - міра інертності тіла та його гравітаційних властивостей. Маса = вазі тіла, розділеній на прискорення вільного падіння, m=G/g, g= 9,81 м/с². g залежить від географічної широти місця та висоти над рівне моря – не постійна величина. Сила – 1Н (Ньютон) = 1кг ^.м/с². Система відліку, в якій проявляється 1-ий та 2-ий закони, назив. інерційною системою відліку. Диференційне рівняння матеріальної точки: , в проекції на декартові осі координат: , на осі природного трьохгранника: - проекція прискорення на бінормаль, тобто

радіус кривизни траєкторії в поточній точці). В випадку плоского руху точки в полярних координатах: . Дві основні задачі динаміки: перша задача динаміки – знаючи закон руху точки, визначити діючу на неї силу; друга задача динаміки (основна) – знаючи діючі на точку сили, визначити закон руху точки. - диференційне рівняння прямолінійного руху точки. Дворазово інтегруючи його, знаходимо загальне рішення . Постійні інтегрування С₁, С₂ шукають з початкових умов: - частинне рішення – закон руху точки.

Коливальний рух матеріальної точки. Відновлююча сила (сила пружності) сила прагне повернути точку в рівноважне положення, «с» - коефіцієнт жорсткості пружини = силі пружності при деформації, рівній одиниці (Н/м). Вільне коливання позначивши , отримуємо - лінійне однорідне рівняння другого порядку, характеристичне рівняння: , його корені мнимі, - загальне рішення диференційного рівняння буде: - постійні інтегрування. Для їх визначення знаходимо рівняння швидкостей: , представляємо початкові умови для , звідки

Можна позначити - рівняння гармонічних коливань.амплітуда, початкова фаза вільних коливань; циклічна частота (кутова, власна) коливань, період: k та T не залежать від початкових умов – ізохронність коливань; амплітуда та початкова фаза залежать від початкових умов. Під дією постійної сили Р відбувається зміщення центру коливань в сторону дії сили Р на величину статичного відхилення Якщо Р – сила тяги, то .

Затихаючі коливання при дії сила опору, пропорційна швидкості (в’язке тертя). , позначивши отримуємо: , характеристичне рівняння: , його корені: .а)При n<k корені мнимі – загальне рішення диференційного рівняння має вигляд:

, позначивши

Множник е^-nt показник, що коливання затухаюче.

Графік заключний поміж двома симетричними відносно вісі t кривими . З початкових умов: ; частота затихаючих коливань: ; період: , період затихаючих коливань більше періоду вільних коливань (при невеликих опорах ). Амплітуди коливань зменшуються: - декремент коливальний; логарифмічний декремент; «n» - коефіцієнт затухання.

б) Аперіодичний рух точки при або . При n>k корені характеристичного рівняння речові, загальний розв’язок: позначаючи

- гіперболічні синус та косинус), якщо ввести ,то - це рівняння не коливального руху (аперіодичного), так як гіперболічний синус не являється періодичною функцією. При n=k корені характеристичного рівняння речові, рівні та негативні: загальний розв’язок: , або , рух також аперіодичний.

Вимушені коливання окрім відновлюючої сили діє змінна збурювальна сила, зазвичай, по гармонічному закону: - частота збурювальної сили, δ – початкова фаза.

- диференційне рівняння вимушених коливань (неоднорідне лінійне диференційне рівняння). Його загальний розв’язок = сумі загального розв’язку однорідного рівняння та частинного розв’язку даного рівняння: - частинний розв’язок, який мається у вигляді, подобному правій частині рівняння. Підставляючи розв’язок в рівняння, знаходимо:

. Величина статистичного відхилення: - коефіцієнт динамічності, у скільки разів амплітуда коливань перебільшує статистичне відхилення. При - явище резонансу (частота здурювальної сили дорівнює частоті власних коливань, при цьому амплітуда безгранично зростає). При наступає явище, називаєме биттями: . Позначаючи , отримуємо - відбувається накладання додаткових коливань, визваних збурювальною силою, власно вимушені коливання – коливання частоти р, амплітуда яких являється періодичною функцією. Явище резонансу виникає при збіганні частот вимушених та вільних коливань точки p=k. Диференційне рівняння:

. Частинне рішення: тобто загальне рішення диференційного рівняння: Рівняння показує, що амплітуда вимушених коливань при резонансі зростає пропорційно часу. Період , фаза вимушених коливань відстає від фази здурю вальної сили на

Вимушені коливання при наявності тертя: загальне рішення в залежності від величини k та n:

 

 

Загальні теореми динаміки точки

Теорема про зміну кількості руху матеріальної точки. - кількість руху матеріальної точки, - елементарний імпульс сили. - елементарна зміна кількості руху матеріальної точки дорівнює елементарному імпульсу сили, прикладеній до цієї точки (теорема в диференційній формі) або - похідна по часу від кількості руху матеріальної точки дорівнює рівнодіючій силі, прикладеній до цієї точки. Проінтегруємо: - зміна кількості руху матеріальної точки за кінцевий період часу дорівнює елементарному імпульсу сили, прикладеній до цієї токи, за той же період часу. - імпульс сили за період часу . В проекції на осі координат: .

Теорема про змінення моменту кількості руху матеріальної точки момент кількості руху матеріальної точки відносно центру О. - похідна по часу від моменту кількості руху матеріальної точки відносно якого-небудь центра дорівнює моменту сили, прикладеній до точки, відносно того ж центра. Проектуя векторну рівність на осі координат, отримуємо три скалярних рівняння: і так далі - похідна від моменту кількості руху матеріальної точки, відносно тієї ж осі. При дії центральної сили, яка проходить через О,

- секторна швидкість. Під дією центральної, тобто радіус-вектор описує («обмітає») рівні площини в любі рівні періоди часу (закон площин). Цей закон має місце при русі планет та супутників – один із законів Кеплера.

Робота сили. Потужність. Елементарна робота - проекція сили на дотичну до траєкторії, направлена в бік переміщення, або Якщо α – гострий, то , тупий - скалярний добуток вектора сили на вектор елементарного переміщення точки її положення; - аналітичний вираз елементарної роботи сили. Робота сили на любому кінцевому переміщенні . Якщо сила постійна, то . Одиниці роботи .

, так як і так далі, то Теорема про роботу сили: робота рівнодіючої сили дорівнює алгебраїчній сумі робіт складових сил на тому ж переміщенні

Робота сили тяж есті: якщо початкова точка вище кінцевої. Робота сили пружності:

- робота сили пружності дорівнює половині добутку коефіцієнта жорсткості на різницю квадратів початкового та кінцевого подовжень (або стиснень) пружини.

Робота сили тертя: якщо сила тертя const, то - завжди негативна, коефіцієнт тертя, N нормальна реакція поверхні.

Робота сили тяжіння. Сила притягнення (тяжіння): , знаходимо коефіцієнт - не залежить від траєкторії.

Потужність – величина, визначаюча роботу в одиницю часу,

. Якщо зміна роботи відбувається рівномірно, то потужність постійна: (кіловат) = =

Теорема про змінення кінетичної сили точки. В диференційній формі: - повний диференціал кінетичної енергії матеріальної точки = елементарній роботі всіх діючих на точку сил. - кінетична енергія матеріальної точки. В кінцевому вигляді: - зміна кінетичної енергії матеріальної точки, при переході її з початкового в конечне (поточне) положення дорівнює сумі робіт на цьому переміщенні всіх сил, прикладених до точки.

Силове поле – область, в кожній точці якої на розміщену в ній матеріальну точку діє сила, однозначно визначена по розміру та напрямку в довільний момент часу, тобто може бути відома . Нестаціонарне силове поле, якщо явно залежить від стаціонарне силове поле, якщо сила не залежить від часу. Розглядаються стаціонарі силові поля, коли сила залежить тільки від положення точки: і так далі. Властивості стаціонарних силових полів:

1. Робота сил стаціонарного поля залежить в загальному випадку від початкового М₁ та кінцевого М₂ положення та траєкторії, але не залежить від закону руху матеріальної точки.

2. Має місце рівність . Для нестаціонарних полів ці властивості не виконується.

Приклад: поле сили тяготіння, електростатичне поле, поле сили пружності. Стаціонарні силові поля, робота сил яких не залежить від траєкторії (шляху) руху матеріальної точки. Й визначається лише її початковим та кінцевим положеннями називається потенційними (консервативними). , де - любі шляхи, А_1,2 – загальні значення роботи. В потенційних силових полях існує така функція, безперечно залежна від координат точок системи, через яку проекції сили на координатні осі в кожній точці поля виражаються так: . Функція називається силовою функцією. Елементарна робота сил поля: . Якщо силове поле являється потенційним, елементарна робота сил в цьому полі дорівнює повному диференціалу силової функції. Робота сил на кінцевому переміщенні , тобто робота сил в потенційному полі дорівнює різниці значень силової функції в кінцевому та початковому положеннях та не залежить від форми траєкторії. На замкнутому переміщенні робота дорівнює 0. Потенційна енергія П дорівнює сумі робіт потенційного поля на переміщенні системи з даного положення в нульове. В нульовому положенні П₀ = 0. . Робота сил поля на переміщення системи з першого положення в друге дорівнює різниці потенційних енергій . Еквіпотенційні поверхні - поверхні рівного потенціалу. Сила направлена по нормалі до еквіпотенційній поверхні. Потенційна енергія системи відрізняється від силової функції, взятої зі знаком мінус, на постійну величину . Потенційна енергія поля сили тяжіння: . Потенційна енергія поля потенційних сил. Центральна сила – сила, яка в будь-якій точці простору направлена по прямій, проходяча через деяку точку (центр), та модуль її залежить лише від відстані r точки масою m до центру:. Центральною є гравітаційна сила

, - постійне тяготіння. Перша космічна швидкість - радіус Землі; тіло виходить на кругову орбіту. Друга космічна швидкість траєкторія тіла параболи, при гіпербола. Потенційна енергія відновлюючі сили пружин: - модуль приросту довжини пружини. Робота відновлюючої сили пружини: - деформації, відповідаючі початковій та кінцевій

точкам шляху.

 

 

Динаміка матеріальної системи

Матеріальна система - сукупність матеріальних точок, рух яких взаємопов’язаний. Маса системи = сумі мас всіх точок (або тіл), утворюючих систему: Центр мас (центр інерції) – геометрична точка, радіус–вектор , який визначається рівністю:, де - радіус-вектори точок, утворюючих систему. Координати центру мас і так далі. Зовнішні сили - сили, діючі на точки системи з сторони тіл, невходячих в систему. Внутрішні сили - сили, викликані взаємодією точок, входячих в систему. Властивості внутрішніх сил: 1.Геометрична сума (головний вектор) всіх внутрішніх сил = 0; 2.Геометрична сума моментів всіх внутрішніх сил відносно довільної точки = 0. Диференційне рівняння руху системи матеріальних точок: або в проекціях на осі координат: і так далі для кожної точки (тіла) системи. Геометрія мас.

Момент інерції матеріальної точки відносно деякої осі називається добуток маси m цієї точки на квадрат відстані цієї точки h до осі: mh². Момент інерції тіла (системи) відносно осі . При безперервному розподіленні мас (тіл) сума переходить в інтеграл: відносно координатних осей. ρ_m – радіус інерції тіла – відстань від осі до точки, в котрій потрібно зосередити m всього тіла, щоб його момент інерції дорівнював моменту інерції тіла. Момент інерції відносно осі (осьовий момент інерції) завжди >0.Полярний момент інерції .

Центробіжний момент інерції J_xy для матеріальної точки називається добуток її координат x і y на її масу m. Для тіла центробіжними моментами інерції називаються величини, які визначаються рівностями: Центробіжні моменти інерції симетричні відносно своїх індексів, тобто і т.д. На відміну від осьових, центробіжні моменти інерції можуть мати любі знаки та обертатися в нуль. Головною віссю інерції тіла називається вісь, для якої обидва центробіжних моменти інерції, які містять індекс цієї осі, дорівнюють нулю. Наприклад, якщо - головна вісь інерції. Головноюцентральною віссю інерції називається головна вісь інерції, яка проходить через центр мас тіла. 1.Якщо тіло має площину симетрії то люба вісь, перпендикулярна до цієї площини, буде головною віссю інерції тіла для точки, в якій вісь перетинає площину. 2. Якщо тіло має вісь симетрії,то ця вісь являється головною віссю інерції тіла ( вісь динамічної симетрії). Розмірність всіх моментів інерції (кгм² ).

Центр обіжний момент інерції залежить не тільки від напрямків координатних осей, але й від вибору початкових координат.

Тензор інерції в даній точці:

 

Моменти інерції деяких однорідних тіл: стержень мас m і довжини L Однорідний суцільний диск з центром в точці С радіусу R і маси m: Повний циліндр циліндр з масою розподіленою по ободу (обруч):

Теорема Гюйгенса-Штейнера момент інерції тіла відносно довільної осі дорівнює моменту інерції відносно осі їй паралельній та про ходячій через центр мас тіла плюс добуток маси тіла на квадрат відстані між осями:

Найменший момент інерції буде відносно тієї осі, яка проходить через центр мас. Момент інерції відносно довільної осі L:

якщо координати осі являються головними відносно свого початку, то : Теоремапро рух центра мас системи. Добуток маси системи на прискорення її центра мас дорівнює геометричній сумі всіх діючих на систему зовнішніх сил диференційне рівняння руху центра мас. В проекціях на осі координат: Закон збереження руху центра мас. Якщо головний вектор (векторна сума) зовнішніх сил залишається весь час рівним нулю, то центр мас механічної системи знаходиться в спокої або рухається прямолінійно та рівномірно. Аналогічно в проекціях на осі, якщо якщо при цьому в початковий момент

Кількість руху системи Q (іноді позначають К) – вектор, рівний геометричній сумі (головному вектору) кількостей руху всіх точок системи: М - маса всієї системи V_С – швидкість центра мас.

Теорема про зміну кількості руху системи: - похідна по часу від кількості руху механічної системи геометрично дорівнює головному вектору зовнішніх сил, діючих на цю систему. В проекціях: і т.д. Теорема про зміну кількості руху системи в інтегральній формі: - імпульс зовнішніх сил.

В проекціях і т. д. кількість руху системи за деякий проміжок часу дорівнює сумі імпульсів діючих на систему зовнішніх сил за той же проміжок часу. Закон збереження кількості руху – якщо сума всіх зовнішніх сил, діючих на систему, = 0, то вектор кількості руху системи буде постійним по модулю та напрямку: аналогічно в проекціях: З закону витікає, що внутрішні сили змінити сумарну кількість руху системи не можуть. Тілозмінної маси, маса якого безперервно змінюється з часом (пр.: ракета, паливо якої зменшується). Диференційне рівняння руху точки змінної маси: - рівняння Мещерського , u – відносна швидкість віддаляючихся частин. секундні витрати палива, Реактивна сила направлена в протилежну сторону відносно швидкості витрати палива.

Формула Циолковського - визначає швидкість ракети, коли все паливо буде витрачено – швидкість в кінці активної ділянки m_т – маса палива, m_k - маса корпусу ракети, v₀ – початкова швидкість. - число Циолковського, m₀ – стартова маса ракети. Від режиму роботи ракетного двигуна, тобто від того, наскільки швидко спалюється паливо, швидкість ракети в кінці періоду горіння не залежить. Для досягнення першої космічної швидкості 7,9 км/с при швидкість відкиду повинна бути 6 км/с, що складно здійснити тому використовуються складені (багатоступінчасті) ракети.

Головний момент кількості руху матеріальної системи (кінетичний момент) величина, рівна геометричній сумі моментів кількостей руху всіх точок системи відносно центра О. . Теорема про зміну моменту кількості руху системи (теорема про змінення кінетичного моменту): - похідна по часу від кінетичного моменту механічної системи відносно деякого нерухомого центра геометрично дорівнює головному моменту зовнішніх сил, діючих на цю систему відносно того ж центру. Аналогічні рівності відносно осей координат: і т.д.

Закон збереження кінетичного моменту: якщо

Головний момент кількості руху системи є характеристикою обертального руху. Кінетичний момент обертального тіла відносно осі обертання дорівнює добутку момента інерції тіла відносно цієї осі на кутову швидкість тіла: . Якщо момент інерції тіла.

Кінетична енергія системи - скалярна величина Т, рівна арифметичній сумі кінетичної енергії всіх точок системи: Якщо система складається з декількох тіл, то . Поступальний рух: . Обертальний рух: момент інерції відносно осі обертання. Плоско паралельний (плоске) рух швидкість центра мас. Загальний випадок: момент інерції тіла відносно миттєвої осі. Теорема Кеніга: кінетична енергія механічної системи = сумі кінетичної енергії центра мас системи, маса якого дорівнює масі всієї системи, і кінетичної енергії цієї системи у її відносному русі відносно центра мас. Робота сили: . Потужність: Теорема про зміну кінетичної енергії системи а диференційній формі: - елементарні роботи, діючих на точку зовнішніх та внутрішніх сил, в кінцевій формі: . Для незмінної системи тобто зміна кінетичної енергії твердого тіла на деякому переміщенні дорівнює сумі робот зовнішніх сил, діючих на тіло на цьому переміщенні. Якщо сума робіт реакції зв’язків на будь якому можливому переміщенні системи дорівнює нулю, то такі зв’язки називаються ідеальними. Коефіцієнт корисної дії (ккд) робота корисних сил опору (сил, для яких призначена машина), витрачена робота, робота шкідливих сил опору (сили тертя, опір повітря і т.п.). корисна потужність машини, потужність двигуна, приводячого її в рух. Закон збереження повної механічної енергії: Якщо система рухається під дією потенційних сил, то сума кінетичної і потенційної енергії зберігає постійне значення. ( Т + П – інтеграл енергії). Потенційні сили – сили, робота яких не залежить від виду траєкторії за якою переміщується точка ( пр.: сила тяжіння, сила пружності) Не потенційні – наприклад: сили тертя. Механічна енергія - сума кінетичної та потенційної енергії. Витрати механічної енергії зазвичай означають перетворення її в теплоту, електроенергію,звук або світло, а приток механічної енергії пов'язаний з оберненим процесом перетворення різних видів енергії в механічну енергію.

 

Динаміка твердого тіла

Диференційне рівняння поступального руху твердого тіла: і т.д. X^e_i – проекція зовнішньої сили. Всі точки тіла рухаються так само, як і його центр мас С. Для виконання поступального руху необхідно, щоб головний момент всіх зовнішніх сил відносно центра мас дорівнював 0: .

Диференційне рівняння обертання твердого тіла навколо нерухомої осі: , J_z – момент інерції тіла відносно осі обертання z, М_z^e – момент зовнішніх сил відносно осі обертання (обертаючий момент). кутове прискорення, чим більше момент інерції при даному М_z^e, тим менше прискорення, тобто момент інерції при обертальному русі являється аналогом маси при поступальному. Знаючи М_z^e, можна знайти закон обертання тіла , та навпаки, знаючи , можна знайти момент. Власні випадки: 1.якщо тіло обертається рівномірно; 2. обертання рівнозмінне. Рівняння аналогічне диференційному рівнянню прямолінійного руху точки

Фізичний маятник – тверде тіло, яке здійснює коливання навколо нерухомої горизонтальної осі під дією сили тяжіння. Рівняння обертального руху: , позначаючи , отримуємо

диференційне рівняння коливань маятника: частота коливань маятника. Розглядаючи малі коливання, можна вважати , тоді диференційне рівняння гармонічних коливань. Розв’язок цього рівняння: або амплітуда коливань маятника, β – початкова фаза коливань. Період малих коливань фізичного маятника . Для малих коливань маятника період не залежить від кута початкового відхилення, цей результат є нерухомим. Для математичного маятника (матеріальної точки, підвішеній на нитці, яка не розтягується, та рухається під дією сили тяжіння) має диференційне рівняння руху: довжина нитки. Якщо , то математичний маятник буде рухатися так само, як і фізичний (період коливань співпадає). Величина L називається приведеною довжиною фізичного маятника. Точка К, відстояна від осі підвісу на відстані ОК = L, називається центром качання фізичного маятника. Якщо вісь підвісу взяти в точці К, то точка О буде центром коливань і навпаки – властивість взаємності. Відстань ОК завжди > ОС, тобто центр коливань завжди розташований нижче центра мас.

 

Динаміка плоского руху твердого тіла

Положення тіла визначається положенням полюса та кутом повороту тіла навколо полюса. Диференційне рівняння плоского руху твердого тіла:

С – центр мас тіла, J_С – момент інерції тіла відносно осі, перпендикулярної до плоскості руху тіла та проходячій через центр його мас.

Принцип Даламбера (метод кінетостатики)

В кожний момент руху сума активних сил, реакцій зв’язків та сил інерції дорівнює нулю - принцип

Даламбера для матеріальної точки. - зовнішня сила, - внутрішня сила. Сила інерції: , знак (-) показує, що сила інерції направлена в протилежний бік прискоренню. Для системи додається рівняння моментів: . Позначають: - головний момент сил інерції. Враховуючи, що геометрична сума внутрішніх сил та сума їх моментів дорівнює нулю , отримуємо: - рівняння кінетостатики. Принцип Даламбера для системи – якщо в будь-який момент часу в кожній точці системи прокласти, окрім реально діючих сил, відповідні сили інерції, то отримана система сил буде знаходитись в рівновазі та до неї можна використати рівняння статики. Це спрощує процес розв’язання задач.

Головний вектор сил інерції дорівнює добутку маси тіла на прискорення його центра мас та направлений в протилежну сторону цьому прискоренню. Головний момент сил інерції залежить від виду руху: при поступальному русі , при плоскому , при обертанні навколо осі z, яка проходить через центр мас тіла, .

Визначення реакцій при обертанні твердого тіла навколо нерухомої осі.

При русі тіла навколо нерухомої осі виникають динамічні тиски на опори. Їх визначення добре вирішувати методом кінетостатики. Прикладаємо сили інерції для кожної точки: центробіжна , обертальна , r_i – відстань від точки до осі обертання. Проектуючи суму цих сил на осі та враховуючи, що та центр мас, отримуємо проекції головного вектора сил інерції:

Проекції головного моменту сил інерції = сумі моментів центр обіжних та обертальних сил інерції відносно осей координат:

- центробіжні моменти інерції, .

Враховуючи зовнішні сили, можна записати рівняння рівноваги кінетостатики:

Останнє рівняння не включає реакцій опор то являє собою диференційне рівняння обертання тіла. Останні п’ять рівнянь дозволяють визначити п’ять відомих реакцій. Динамічні складові реакцій визначаються доданками, які залежать від сил інерції.

Умови відсутності динамічних складових:

, звідки , це означає, що центр тяжіння повинен знаходитись на осі обертання тіла та вісь обертання тіла z повинна бути головною віссю інерції тіла. Тобто вісь обертання повинна бути головною центробіжною віссю інерції тіла (ось, яка проходить через центр мас тіла, і центробіжні моменти інерції з індексом осі рівним нулю). Для виконання цієї умови проводиться спеціальна балансировка швидко обертаючихся тіл.