ДОДАТОК
Ми опустили в тексті доведення інваріантності
так як воно спирається на правило множення визначників, яке по існуючим навчальним планам невідоме студентам І курсу заочних відділень педуніверситетів.
Правило перемноження визначників
Для того, щоб перемножити два визначники
Потрібно елементи і-ой строчки визначника D1 помножити на відповідні елементи j-того стовпчика визначника D2 та всі ці добутки додати; отримана сума буде членом i-ої строчки j-того стовпчика нового визначника, котрий і буде добутком двох даних – D1 та D2, тобто
Приклад:
Використовуючи правило перемноження визначників, маємо:
І насправді:
І3 – інваріанта перетворення повороту осей координат
Доведемо, що
- це інваріанта перетворення повороту осей координат. Для цього помножимо її на квадрат визначника
що не змінить її величину
(- кут повороту осей координат).
(При другому множенні визначників у визначнику, який помножають, міняємо строки та стовпці ролями, що можливо, так як строчки і стовпчики у визначника рівноправні, а в отриманому після множення визначнику замінимо його елементи формулами (1)…(6) § 3).
Таким чином:
Що і треба було довести.