Загальна теорія кривих другого порядку

Загальна теорія кривих другого порядку

Загальне рівняння кривої другого порядку відносно змінних х та у має вигляд: …

Спрощення загального рівняння кривої другого порядку шляхом повороту осей координат

Нехай в деякій прямокутній системі координат лінія другого порядку задана рівнянням: Повернемо осі координат на деякий кут ; тоді координати усіх точок площини перетворяться за формулами:

Спрощення рівняння кривої другого порядку шляхом переносу початку координат

Обчислюються через коефіцієнти вихідного рівняння то можливі три принципово… І тип – коефіцієнти при квадратах обох змінних у рівнянні (1) відмінні від нуля:

Інваріанти рівнянь кривих другого порядку

Говорять, що являється інваріантом перетворення повороту осей координат. Взагалі будь-яка функція

Визначення класу кривої та параметрів канонічного рівняння за допомогою інваріантів

1. Ознаки типів кривих другого порядку, виражені через інваріанти. Вище ми бачили, що рівняння ліній першого типу, для яких , можуть бути зведеними… Обчислимо інваріанту І2, виходячи з цього зведеного рівняння:

Перетин лінії другого порядку з прямою

(1) Розглянемо пряму, що задана точкою M0(x0,y0) та направляючим вектором (мал.5). Нехай M(x,y) – точка, що належить даній прямій, тоді: Або в… (2)  

Центр кривої другого порядку.

   

Побудова ліній другого порядку за їх загальними рівняннями

Розглянемо це питання відносно кожного класу ліній окремо. 1. Побудова центральних ліній (еліпса та гіперболи). Нові осі координат,…

ДОДАТОК

Ми опустили в тексті доведення інваріантності

так як воно спирається на правило множення визначників, яке по існуючим навчальним планам невідоме студентам І курсу заочних відділень педуніверситетів.

 

Правило перемноження визначників

Для того, щоб перемножити два визначники

Потрібно елементи і-ой строчки визначника D₁ помножити на відповідні елементи j-того стовпчика визначника D₂ та всі ці добутки додати; отримана сума буде членом i-ої строчки j-того стовпчика нового визначника, котрий і буде добутком двох даних – D₁ та D₂, тобто

Приклад:

Використовуючи правило перемноження визначників, маємо:

І насправді:

 

І3 – інваріанта перетворення повороту осей координат

Доведемо, що

- це інваріанта перетворення повороту осей координат. Для цього помножимо її на квадрат визначника

що не змінить її величину

(- кут повороту осей координат).

(При другому множенні визначників у визначнику, який помножають, міняємо строки та стовпці ролями, що можливо, так як строчки і стовпчики у визначника рівноправні, а в отриманому після множення визначнику замінимо його елементи формулами (1)…(6) § 3).

Таким чином:

 

Що і треба було довести.

 

І2 – інваріанта перетворення переносу початку координат

при перетворенні інваріантності початку координат в деяку точку (х0, у0)… що не змінить його величини.