Мета роботи

Метою роботи є побудова і вивчення основних характеристик часових рядів, використовуючи стандартні математичні методи опису.

 

2.1.2 Теоретичні відомості

 

Часовим рядом називається набір значень x₁, x₂, . . . , x_n досліджуваної величини, зареєстрованих у послідовні моменти часу:

 

t₁, t₂, . . . , t_n .

 

Часовий ряд прийнято описувати за допомогою закономірної невипадкової і випадкової складових.

Невипадкова (детермінована) складова часового ряду являє собою функцію від часу, що обчислюється в дискретні моменти часу.

Випадкова складова – набір випадкових величин, розподіл яких невідомий.

Форми розкладання (декомпозиції) часового ряду на детерміновану і випадкову компоненти можуть розрізнятися.

Адитивною моделлю часового ряду називається представлення ряду у вигляді суми детермінованої і випадкової компонент, а саме:

 

x_t = d_t + e_t при t = 1, . . . , n.

 

Мультиплікативною моделлю часового ряду називається представлення ряду у вигляді перемноження детермінованої і випадкової компонент, а саме:

 

x_t = d_t x e_t при t = 1, . . . , n.

Способи опису детермінованих компонент часового ряду сильно залежать від області застосування. В економічних (і багатьох інших) застосуваннях у детермінованої компоненти часового ряду d_t звичайно виділяють три складові частини: тренд tr_t, сезонну компоненту s_t і циклічну компоненту c_t. Для адитивної моделі часового ряду можна записати:

 

d_t = tr_t + s_t + c_t , при t = 1, . . . , n .

 

Трендом часового ряду tr_t при t = 1, . . . , n називають плавно змінну, не циклічну компоненту, що описує чистий вплив довгострокових факторів, ефект яких позначається поступово.

Сезонна компонента s_t часового ряду при t = 1, . . . , n описує поводження, що змінюється регулярно протягом заданого періоду (року, місяця, тижня, дня і т.і.). Вона складається з послідовності циклів, що майже повторюються.

Циклічна компонента c_t часового ряду описує тривалі періоди відносного підйому і спаду. Вона складається з циклів, що змінюються по амплітуді і довжині.

Математично найпростішою моделлю випадкової компоненти часового ряду є послідовність незалежних випадкових величин. Білим шумом називають часовий ряд (випадковий процес) з нульовим середнім, якщо його складові випадкові величини незалежні і розподілені однаково при всіх t.

Послідовності незалежних випадкових величин далеко не завжди адекватно описують випадкові компоненти часових рядів. Теорією і практикою для опису випадкових послідовностей вироблені і більш складні моделі.

Нехай e₁,e₂, . . . , e_n , . . . - незалежні однаково розподілені випадкові величини (білий шум).

Процесом ковзного середнього (першого порядку) із середнім m називають процес Х(t):

Х(t) = e_t + q e_{t -1} + m ,

 

де q - деякий числовий коефіцієнт, а m - константа.

У процесі ковзного середнього статистично залежні тільки сусідні величини Х(t - 1) і Х(t). Значення процесу, що розділені проміжком часу 2 і більше, статистично незалежні, тому що в їхньому формуванні беруть участь різні складові e_t . З цієї причини процеси ковзного середнього є безпосереднім і найпростішим узагальненням процесів білого шуму.

Процесом авторегресії (першого порядку) із середнім значенням m називають випадковий процес Х(t), що задовольняє співвідношенню:

Х(t) - m =f • (Х(t - 1) - m) + e_t,

 

де f і m - деякі числа.

Члени процесу авторегресії, що розділені проміжком часу h > 0, не стають незалежними, яким би великим ні було h. Однак залежність між ними швидко убуває з ростом h, якщо |f | < 1. Саме такі процеси авторегресії звичайно зустрічаються в прикладних задачах.

Числові характеристики часових рядів вводяться в повній аналогії з числовими характеристиками випадкових величин.

Математичне очікування: .

Дисперсія: .

Коефіцієнт Пірсона (показує ступінь статистичної залежності часового ряду і тренда: чим ближче цей коефіцієнт до 1, тим краще підібраний тренд):

 

,

 

де , .

 

Автокореляційна функція (показує залежність між елементами випадкової складової, якщо усі близькі до 0 (||<0.2), то всі елементи випадкової складової можна вважати незалежними, тобто ми маємо справу з білим шумом):

 

n/4