Мета роботи

Метою роботи є підбір моделей трендів і випадкових компонент для кожного часового ряду і порівняння результатів з моделями трендів, отриманими в лабораторній роботі №2, а також з моделями трендів і випадкових компонент, що використовувались для генерації часових рядів в лабораторній роботі №1.

 

2.3.2 Теоретичні відомості

Після видалення детермінованої компоненти часовий ряд повинний звестися до стаціонарного процесу. Так що наступним кроком після виділення детермінованої компоненти повинний бути аналіз залишків, тобто вивчення ряду, отриманого з вихідного часового ряду після виключення детермінованої компоненти. При цьому можуть ставитися наступні цілі:

- Опис ряду за допомогою тієї чи іншої моделі, що відбиває залежність між його сусідніми елементами. На базі побудованої моделі можна здійснювати прогноз майбутнього поводження ряду.

- Уточнення оцінки дисперсії часового ряду. Ця оцінка важлива для прогнозування, тому що виходячи з неї обчислюється ширина довірчої трубки прогнозу.

- Перевірка стаціонарності залишків (при нестаціонарності підбор детермінованої компоненти має потребу в уточненні).

Як модель стаціонарних часових рядів найчастіше використовуються процеси авторегресії, ковзного середнього та їхні комбінації.

Для перевірки стаціонарності ряду залишків і оцінки його дисперсії на практиці найчастіше використовуються вибіркова автокореляційна (корелограма) і часткова автокореляційна функції.

Аналіз корелограми - це порой досить непроста задача. Розглянемо поводження корелограми для деяких нестаціонарних рядів. У цьому випадку варто пам'ятати, що корелограма практично не несе ніякої інформації про статистичну залежність чи незалежність членів часового ряду, однак вона може відбивати причини порушення стаціонарності.

Для часового ряду, що містить тренд, корелограма не прагне до нуля з ростом значення лага. Її характерне поводження зображене на рис. 2.6.

 

 

Для ряду з сезонними коливаннями корелограма також буде містити періодичні сплески, що відповідають періоду сезонних коливань. Це дозволяє встановлювати передбачуваний період сезонності. Типове поводження корелограми для ряду з сезонними коливаннями приведене на рис. 2.7.

 

 

У випадку стаціонарних випадкових процесів корелограма показує корельованість значень часового ряду при різних відстанях між ними.

Автокореляційна функція r_k білого шуму дорівнює нулю для всіх k0. На рис. 2.8 зображена типова корелограма білого шуму. Для гаусовського білого шуму можна вказати 95% довірчий інтервал для кожного конкретного значення у вигляді -1/ n ± 2/. Він зображений на графіку корелограми пунктирними лініями. Якщо вибіркові оцінки кореляційної функції попадають у зазначені довірчі інтервали, то можна припустити, що значення процесу є білим шумом. Однак досить часто одне чи декілька значень вибіркової автокореляційної функції білого шуму можуть виходити з зазначених меж. Особливо часто цей ефект можна спостерігати при наявності невеликого числа спостережень.

 

 

Траєкторії багатьох стаціонарних випадкових процесів виглядають набагато більш гладко, чим траєкторії білого шуму. Це зв'язано з наявністю позитивної кореляції між двома чи декількома сусідніми членами подібних рядів. Якщо ж кореляція між сусідніми членами ряду негативна, то траєкторії подібних процесів будуть більш зламаними, чим траєкторії білого шуму. Найпростішим прикладом процесів, у яких залежні одне чи декілька сусідніх значень, є процеси ковзного середнього. На рис. 2.9 приведені графіки ста значень реалізації процесу ковзного середнього з коефіцієнтом q = 0.75 і його корелограми. На рис. 2.10 приведені аналогічні графіки при q = - 0.75.

 

На графіках видно, що хоча отримані оцінки значень r_k при k = 2,3... не дорівнюють нулю, вони значиме не відрізняються від нульових значень, тому що попадають у 95% довірчий інтервал, що побудований у припущенні рівності нулю відповідних значень автокореляційної функції.

Для процесів ковзного середнього другого порядку відрізняються від нуля тільки значення r₁ і r₂ , а всі наступні значення r_k при k = 3,4,... дорівнюють нулю. Нарешті, для процесів ковзного середнього порядку q відмінні від нуля тільки перші q значень автокореляційної функції. Строячи графіки корелограм для подібних процесів, можна на підставі зазначеної властивості зробити попередній висновок про можливий порядок процесу ковзного середнього, котрий може бути використаний для опису спостереженого ряду.

Зазначене правило гарне, якщо підібраний порядок моделі ковзного середнього невеликий, скажемо від одного до чотирьох-п'яти. Однак на практиці часто зустрічаються стаціонарні процеси з автокореляційною функцією помітно відмінною від нуля навіть при великих затримках. Згідно сформульованому правилу, їх можна намагатися описати процесами ковзного середнього високих порядків. Це приводить до великого числа коефіцієнтів процесу ковзного середнього, котрі підлягають подальшій оцінці. При цьому точність цих оцінок помітно знижується. Практична цінність таких багатопараметричних моделей ковзного середнього невелика. У цій ситуації краще спробувати описати часовий ряд за допомогою моделі авторегресії. Якщо і ці спроби не закінчаться успіхом - перейти до комбінованих моделей авторегресії - ковзного середнього.

Нагадаємо, що найпростіший процес авторегресії першого порядку Х(t) з нульовим середнім задається співвідношенням:

 

Х(t) =f Х(t - 1) + e_t,

 

де e_t не залежить від Х(t - 1). Члени навіть цього найпростішого процесу не стають незалежними з ростом проміжку часу між ними. Однак за певних умов на коефіцієнти ця залежність швидко убуває.

Приведемо два типові графіки поводження вибіркових автокореляційних функцій цих процесів. Автокореляційні функції цих процесів з ростом лага або просто експоненційно загасають, або являють собою експоненційно загасаючі синусоїдальні хвилі.

На рис. 2.11 приведені графіки ста значень реалізації процесу авторегресії другого порядку АR(2):

 

Х(t) =f₁Х(t - 1) + f₂Х(t - 2) + e_t ,

 

при f₁ = 0.7 і f₂ = 0.25. Тут автокореляційна функція процесу і відповідно корелограма експоненційно загасають з ростом лага.

На рис. 2.12 приведені графіки ста значень реалізації АR(2) процесу при f₁ = 0.7 і f₂ = - 0.25. Автокореляційна функція цього процесу і відповідно корелограма поводяться з ростом лага як експоненційно загасаюча синусоїда.