Контрарность

(A à not B) ^ (B à not A)

 

Парадокс ложного высказывания – из ложного высказывания следует любое и будет истина.

Парадокс истинного высказывания – истина логически следует из любого высказывания.

 

Модальные высказывания (база – слова «необходимо», «возможно», «случайно»)

 

□А – необходимо, что А (А истинно всегда)

◊А – возможно, что А

сА – случайно, что А

 

□А <-> not ◊ not A

◊A <-> not □ not A

cA <-> not □A ^ not □ not A

 

1) □А <-> Aпо Лейбницу (все в мире предопределено)

2) ◊A <-> not not A <-> A (наш мир наилучший, все, что возможно – истинно, и все что истинно – возможно)

3) сА <-> not A ^ not not A <-> not A ^ A – нет ничего случайного

Модель формулы – истинная конкретизация данной формулы

Невыполнимая формула – формула, не имеющая ни одной модели

выполнимая формула – формула, имеющая, по крайней мере, одну модель.

общезначимая формула, всей конкретизацией которой является ее модели.

 

- логическое следование (в дальнейшем F)

F Ф – правильно построенная формула вида Ф общезначима.

F Ф - ---/--- не общезначима.

 

Ф F Y – из ППФ вида Ф логически следует формула виде Y.

 

Всякий раз, когда формула вида Ф имеет модель, формула Y также имеет модель.

 

Логически ложные высказывания – конкретизация невыполнимой формулы

Логически истинные высказывания – конкретизация выполнимой формулы

 

A <-> B – принцип тождества (все уникально, нет двух одинаковых, каждый тождественен сам себе) F (A <-> A)

 

F (not (A ^ not A)) принцип непротиворечивости – 2 контрадикторных высказывания не могут быть одновременно истинны

F A v not A принцип исключенного третьего – из двух высказываний одно И другое Л, третьего нет.

F not not A <-> A принцип двойного отрицания

F not (A ^ B) <-> (not A v not B),

F not (A v B) <-> (not A ^ not B)– законы де Моргана

 

18. Табличное определение отрицания, конъюнкции, дизъюнкции, импликации и эквивалентности.

а	NOT a

 

 

a	b	aà b

 

a	b	a OR b

 

a	b	a XOR b

a	b	a AND b

 

 

19. Логическое исчисление и его основные компоненты.

Логическое исчисление – символ, отображающий теории, основными элементами которого являются:

1) алфавит (совокупность исходных элементарных символов)

2) синтаксические правила (правило построения сложных конструкций из алфавита)

3) Аксиомы (простейшая функция, обще начимость которой считается установленной) и гипотезы

4) Правило вывода.

 

 

Общие гипотезы – формула, общезначимость которой не установлена, но предполагается

Частные гипотезы – не формула, а высказывание, истинность которого не установлена, но предполагается.

 

Правило вывода – дедуктивное правило – формальное правило перехода от аксиом и гипотез к другим формулам, общезначимость которых считается установленной при условии общезначимости гипотез.

 

Логический вывод – такая последовательность формул, что любая формула данной последовательности есть аксиома или гипотеза, либо получена из них по правилу вывода.

 

├ - оператор дедуктивной выводимости.

 

Ф₁ … Ф_n ├ Ф - формула вида Ф выводится из формул вида Ф₁ … Ф_n

 

Логика высказываний позволяет:

1) точно записать

2) найти ошибки

20. Логика предикатов. Квантор существования и квантор общности. Формализация средствами логики предикатов общеутвердительных, общеотрицательных, частноутвердительных и частноотрицательных высказываний.

Логика предикатов – раздел логики, в котором изучаются:

1) субъектно-предикатная структура высказываний

2) истинностные взаимосвязи между высказываниями.

 

Классическая логика высказываний – НЕ, ^, v, à, <->, xor

Классическая логика предикатов – КЛВ + <=, ∀, ∃

 

∀ - квантор общности

∃ - квантор существования

 

∀x φ(x) = φ(x₁) ^ φ(x₂) ^ … ^ φ(x_n) –бесконечная свернутая конъюнкция

(Любому х присущи св-ва Х)

 

∃х φ(x) = ∃х (х<=X) = φ(x₁) v φ(x₂) v … v φ(x_n) - бесконечная свернутая дизъюнкция

(найдется хотя бы один х, у которого св-ва Х)

 

Все S – P	∀ х (S(x) à P(x))
Некоторые S – P	∃ х (S(x) à P(x))
Все S – не P	∀ х (S(x) à not P(x))
Некоторые S – не P	∃ х (S(x) à not P(x))

 

Логическая дискреция – сложный символ, указывающий на тот иной объект не путем прямого обозначения (именования), а путем теоретического описания этого объекта, его свойств.

Дискреции
Естественный язык	логический язык
неопределенная дискреция определенная дискреция «какой-то» «этот»	i x(x<=X) (тот х, которому присуще Х)

 

 

21. Основные разделы металогики: логический синтаксис, семантика и прагматика. Логический вывод и доказательство.

Металогика -

Раздел логики, в котором изучаются логические исчисления и формализованные логические теории.

Металогика разделяется на три тесно связанных друг с другом раздела — логический синтаксис, логическую семантику и логическую прагматику. В рамках логического синтаксиса основное внимание уделяется анализу отношений между символами языка; в рамках логической семантики — анализу отношений между языковыми символами и теми объектами, на которые эти символы указывают; в рамках логической прагматики — анализу отношений между языковыми символами и интеллектуальными субъектами, использующими язык с целью передачи информации.

 

Основные темы логического синтаксиса — изучение отношения дедуктивной выводимости (для его обозначения используется оператор выводимости «—»); различных видов и методов формального доказательства; проблем непротиворечивости и разрешимости формальных систем.

 

логическая семантика — это «философия» Металогики, ее главная содержательная часть.

 

Что касается логической прагматики, то она акцентирует свое внимание на методах и приемах аргументации, заблуждении и обмане, софизмах, парадоксах и др. формах проявления «человеческого фактора» в логике.

 

Металогика представляет собой наиболее динамично развивающийся и еще не полностью сформировавшийся раздел современной логики.

 

Центральная теоретическая проблема металогики — создание адекватного формального метаязыка, включающего в себя язык логики предикатов, близкий по своим выразительным возможностям естественному языку.

 

ВЫВОД ЛОГИЧЕСКИЙ — рассуждение, в котором

осуществляется переход по правилам от высказывания или системы высказываний к высказыванию или системе высказываний. К логическому выводу обычно предъявляются (совместно или по отдельности) следующие требования: 1) правила перехода должны воспроизводить отношение следования логического (ту или иную его разновидность); 2) переходы в логическом выводе должны осуществляться на основе учета только синтаксических характеристик высказываний или систем высказываний.

 

ЛОГИЧЕСКОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО - последовательность высказываний, часть которых является ее исходными утверждениями — аксиомами, а все другие выводятся из них по четко указанным правилам вывода (основные из них — дедукция, математическая индукция, правило подстановки) или вводятся с помощью вспомогательных высказываний, определений и лемм.

 

22. Эмоциональная оценка и рациональная критика. Основные разновидности рациональных ошибок: паралогизм, софизм, парадокс.

Рациональные ошибки

Паралогизм – непреднамеренная рациональная ошибка.

Софизм – преднамеренная рациональная ошибка, с целью ввести кого-либо в заблуждение

Парадокс – особая сложность. Непреднамеренная, но глубоко спрятанная ошибка

 

Парадокс совета: «любые советы бесполезны, т.к. умному человеку советы не нужны, а глупые ими не воспользуются» (жирным выделена ошибочная часть высказывания)

23. Логическая структура аргументации: тезис, аргументы, демонстрация. Основные ошибки аргументации.

Аргументация– это совокупность логических операций, которые служат поиску и предъявлению оснований некоторой точки зрения с целью её понимания или(и) принятия. Цель аргументации – принятие выдвигаемых положений аудиторией или оппонентом.

 

Всякая аргументация имеет как логический, так и коммуникативный аспекты. В логическом отношении аргументация – это процедура отыскания опоры, оснований для некоторого высказывания и выражение этого в строгой форме. В коммуникативном плане аргументация – это процесс передачи, истолкования и внушения информации, присутствующей в исходном положении. Конечная цель этого процесса – формирование некоторого убеждения. Цель можно считать достигнутой, если человек понял и принял наше исходное положение. Потребность в аргументации возникает на том этапе рассмотрения проблемы, когда сформулированы возможные способы её решения, но не ясно, который из них обладает преимуществами.

 

Основополагающими логическими действиями в совокупности действий, называемых аргументацией, являются доказательство и опровержение. Доказательство – это рассуждение, устанавливающее истинность какого-либо высказывания путём приведения других, связанных с ним и достоверно-истинных высказываний.

Во всяком доказательстве различают три элемента: тезис, аргумент (довод, основание) и демонстрацию. Тезисом называется суждение, истинность которого требуется доказать. Аргументами называются истинные суждения, из которых выводится истинность тезиса. Демонстрация – это форма доказательства, способ логической связи между тезисом и аргументами.

Пример: «Тезис доказательства: платина электропроводна. Аргументы: платина – металл, а все металлы электропроводны. Демонстрация: modus Barbara простого категорического силлогизма».

 

Важнейшей составляющей любого доказательства являются аргументы. Какие именно суждения могут и должны быть аргументами доказательств? В логической теории выделяют несколько видов аргументов.

 

1. Удостоверенные единичные факты. (данные наблюдений и экспериментов, статистические данные, результаты исследований)

2. Определения как аргументы доказательства.

3. Аксиомы. В теории аргументации они принимаются как истины без доказательств.

4. Законы, ранее доказанные теоремы, решённые задачи. В качестве аргументов доказательств могут выступать ранее доказанные суждения.

Требования к аргументам:

1.Аргументы, приводимые для доказательства тезиса должны быть истинными и не противоречащими друг другу. Проверка истинности (доказанности) аргументов является важнейшей составляющей проверки всего доказательства.

 

2. Истинность аргументов должна обосновываться независимо от тезиса. Доводы должны иметь свои собственные основания.

 

3. Аргументы должны быть достаточными для данного тезиса, то есть в своей совокупности они должны быть такими, чтобы из них по правилам логики с необходимостью вытекал доказываемый тезис.

 

Типичные ошибки аргументации:

Процесс аргументации всегда предполагает тщательный предварительный анализ имеющегося фактического материала, обобщений, свидетельств, научных данных. Если среди отобранных аргументов оказываются ложные суждения, то мы имеем дело с ошибкой, которая называется «ложность оснований». Ошибка эта часто бывает непреднамеренной (например, научные заблуждения), но иногда бывает и софистической (например, ложные свидетельские показания в суде). Разновидностью «основного заблуждения» является ошибка – «предвосхищение оснований». Суть этой ошибки в том, что тезис опирается на аргументы, которые ещё не доказаны (например, на распространённые предрассудки, общепринятые мнения).

 

Ещё одна ошибка по отношению к аргументам – «порочный круг». Она состоит в том, что тезис обосновывается аргументами, а аргументы обосновываются этим же тезисом.

 

24. Теоретическое и практическое значение логики.

Можно говорить о четырех важнейших сторонах, характеризующих значение логики.

1. Логика выступает важнейшим средством формирования убеждений (прежде всего научных). Эти убеждения опираются на доказательные процедуры своего представления и обоснования. Интересно отметить, что именно в этом плане логика применялась даже средневековыми схоластами, пытавшимися придать христианскому вероучению как можно более рациональную форму, что послужило формальной предпосылкой возникновения действительной науки, отказавшейся от теологических подходов.

2. Формальная логика применяется в науке и технике. При этом техническими приложениями формальной логики являются: исчисление высказываний и исчисление предикатов. Без исчисления предикатов не могли появиться искусственные информационные языки, основа современной компьютерной техники. Традиционная формальная логика остается важнейшим логическим инструментом построения доказательств, обоснований во всех науках, включая математику и математическую логику в частности.

3. Традиционная формальная логика остается важнейшим средством в сфере всех видов образования. Она является основой организации всех видов знания для его подачи в процессе обучения.

4. Наконец логика является важнейшим и незаменимым инструментом развития культуры. Без логики не может обойтись никакая культурная деятельность вообще, поскольку в ней присутствуют и играют принципиальную роль рациональные элементы.