Идеальной жидкости в форме уравнений Эйлера - раздел Педагогика, Предмет гидравлики · Гидравлика жидкостных ракетных двигателей Рассмотрим Вопрос О Распределении Давления В Потоке Идеальной Жидкости. Обрат...
Рассмотрим вопрос о распределении давления в потоке идеальной жидкости. Обратимся к методу, применённому ранее для покоящейся жидкости.
Выделим в потоке жидкости точку А с координатами в осях, связанных с границами потока (например, со стенками трубопровода (рис. 3.9).
Рис. 3.9. К выводу уравнений Эйлера
Около этой точки выделим элементарный объём жидкости в виде прямоугольного параллелепипеда с боковыми рёбрами , как это было сделано в гидростатике.
На движущуюся жидкость действуют массовые силы – силы тяжести и силы инерции, а также силы давления, действующие на грани и направленные внутрь рассматриваемого объёма.
Пусть давление в этой точке , плотность . Скорость движения частицы жидкости обозначим через , а её проекции на оси - . Тогда проекции ускорения, с которым движется выделенный объём, будут равны . Масса выделенного объёма - . Будем считать, что внутри этого объёма на жидкость действует результирующая массовая сила, единичные проекции которой на оси координат равны
Составим уравнение движения выделенного объёма жидкости. Для этого спроектируем силы, действующие на него, в направлении оси .
. (3.12)
После деления на и преобразования, получим
.
Рассматривая аналогичным образом условия равновесия этого объёма относительно и , приходим к системе дифференциальных уравнений движения идеальной жидкости Эйлера (3.13).
(уравнения Эйлера) (3.13)
Эти уравнения аналогичны уравнениям гидростатики, с тем, однако существенным отличием, что они, в соответствии с принципом Даламбера, содержат в правой части производную от соответствующей проекции скорости по времени.
Члены этих уравнений представляют собой ускорения, а физический смысл каждого уравнения состоит в следующем: полное ускорение частицы вдоль координатной оси складывается из ускорений от массовых сил и ускорений от сил давления.
Уравнения Эйлера справедливы как для несжимаемой жидкости, так и сжимаемой. Поскольку при выводе уравнений не накладывались условия стационарности движения, то они справедливы также и для неустановившегося движения.
Эти уравнения, как и уравнения гидростатики, были впервые выведены Леонардом Эйлером в 1755 году.
Все темы данного раздела:
Жидкости
· Предмет гидравлики.Исторически механика жидкости выросла из двух отраслей научного знания: эмпирической гидравлики и классической (теоретической) гидромеханики, построенной на то
Определение жидкости
Состояние вещества определяется его атомно-молекулярным строением. В гидравлике с понятием жидкость принято связывать три агрегатных состояния вещества: жидкое, газообразное и плазму.
Основные физические свойства жидкостей
Физические свойства жидкостей проявляются в особенностях их поведения в различных условиях. Они лежат в основе многих законов и зависимостей гидравлики. Рассмотрим основные физические свойства капе
Решение.
1) Находим абсолютное давление воздуха
.
2) Определяем абсолютную температуру воздуха
.
3) Находим плотность воздуха из уравнения состояния идеального газа для о
Равновесие жидкости. Гидростатическое давление
Гидростатика - раздел гидравлики о законах равновесия жидкости и её взаимодействии с твердыми телами и газами.
Равновесие капельных жидкостей.Под равновес
Давление абсолютное, избыточное, вакуум
Числовое значение давления определяется не только принятой системой единиц, но и выбранным началом отсчета. Исторически сложились три системы отсчета давления: абсолютная, избыточная и вакуумметрич
Свойства гидростатического давления
Гидростатическое давление обладает двумя основными свойствами.
1-ое свойство. Силы гидростатического давления в покоящейся жидкости всегда направлены внутрь по нормали к п
Закон Паскаля
Основное уравнение гидростатики можно получить двумя способами: 1) из условия равновесия капельной жидкости в поле земного тяготения;
2) путем интегрирования основного дифференциального ур
Поверхности уровня
Давление жидкости, как видно из формулы (2.6), возрастает с увеличением глубины прямолинейно (по закону треугольника) и на данной глубине есть величина постоянная (рис.2.5).
Поверх
Равновесия жидкости Эйлера
Рассмотрим состояние равновесия жидкости в общем случае, т.е. когда на неё действует сила тяжести и сила инерции переносного движения при относительном покое.
Выделим в покоящейся жидкости
Гидростатики
На практике удобнее пользоваться не системой уравнений, а одним уравнением, не содержащим частных производных. Умножим каждое уравнение (2.8), соответственно, на и, сложив их, получим
. (2
Дифференциальное уравнение поверхности
Поверхностью уровня, или поверхностью равного давления, называется геометрическое место точек, испытывающих в жидкости одинаковое давление. В каждом частном случае равновесия существует множество п
Основные задачи гидростатики
Гидростатика в зависимости от частного случая равновесия жидкости позволяет решать следующие четыре типовые задачи:
1) О законе распределения давления. Задача может быть решена интегрирова
Эйлера. Закон распределения давления
Пусть жидкость находится в абсолютном равновесии в поле земного тяготения, т.е. когда на жидкость действует только сила тяжести , а ось направлена вверх (рис. 2.7).
Уравнения гидростатики
Выделим в «абсолютно» покоящейся жидкости произвольные точки и с координатами и (рис. 2.9). Удалив из трубок с запаянными верхними концами воздух, погрузим их отвесно в жидкость так, чтобы нижние о
Уравнения гидростатики
Рассмотрим потенциальную энергию жидкости в элементарном объёме, выделенном около произвольной точки с геометрической высотой и давлением (рис. 2.10).
Рис. 2.10. Энергетиче
Приборы для измерения давления
Пьезометры. Погрузим в «абсолютно» покоящуюся жидкость открытые с обоих концов стеклянные трубки так, чтобы их нижние концы совпали с точками и (рис. 2.11). В обеих трубках с откры
Гидравлический пресс. Мультипликатор
Гидравлический пресс. Пресс применяется в технике для создания больших сжимающих усилий, которые необходимы в технике при обработке металлов давлением, прессовании, штамповке,
Гидравлический парадокс
Докажем, что полная сила давления жидкости на плоскую стенку равна произведению площади стенки на гидростатическое давление в центре тяжести этой площади, т.е. .
Пусть «абсолютно» покоящая
Центр давления
При решении технических задач необходимо знать не только величину и направление силы давления, но во многих случаях и величину момента этой силы относительно той или иной оси.
Определение
Закон Архимеда
Описанный выше прием нахождения вертикальной составляющей силы давления жидкости на криволинейную стенку используют для доказательства закона Архимеда. Пусть в жидкость погружено тело произвольной
При нулевой или слабой гравитация
Ранее было рассмотрено равновесие жидкости под действием лишь одной массовой силы - ее веса. Этот случай имеет место тогда, когда жидкость покоится в сосуде, неподвижном относительно Земли. Пр
Произвольном направлении с постоянным ускорением
Пусть сосуд с жидкостью движется прямолинейно с постоянным ускорением в произвольном направлении, т.е. равноускоренно или равнозамедленно (рис. 2.19).
Рис. 2.19. Силы, действующие при отно
С постоянным ускорением
Предположим, что открытый резервуар вместе с находящейся в ней жидкостью движется в вертикальном направлении сверху вниз с некоторым постоянным ускорением , равным или меньшим ускорению свободного
С жидкостью вокруг вертикальной оси
Предположим, что открытый цилиндрический сосуд с жидкостью приведен во вращательное движение вокруг вертикальной оси с угловой скоростью (рис. 2.21).
Вращающиеся стенки цилиндра приведут в
При нулевой или слабой гравитация
Пусть равномерно вращающийся сосуд принадлежит к системе, которая перемещается с некоторым ускорением, и пусть при этом инерционная сила переносного движения системы уравновешивает силу тяжести, (р
Газом (паром) в условиях динамической невесомости
Динамическая невесомость характеризуется тем, что сила тяжести уравновешена инерционной силой переносного движения системы, т.е. результирующая массовых сил равна нулю. В этом случае отчетливо выра
Виды движения жидкости
Всякое движение жидкости характеризуется следующими основными параметрами: форма потока, плотность жидкости, скорость, ускорение, давление. В зависимости от изменения основных параметров рассматрив
Элементарная струйка
Через любую точку Апотока (рис.3.3) всегда можно провести линию, в каждой точке которой вектор местной скорости в данный момент времени направлен по касательной к ней.
Линией тока
Уравнение неразрывности
Выделим элементарную струйку в области установившегося неравномерного течения жидкости (рис. 3.5).
Определим массу жидкости, проходящей через произвольные сечения 1-1 и 2-2 за время .
Гидравлический радиус
В гидравлических расчётах для характеристики размеров и формы поперечного сечения потока вводят понятие о живом сечении и его элементах: смоченном периметре и гидравлическом радиусе.
Для потока жидкости
Гидравлика – это техническая механика жидкости, в которой часто используются упрощённые методы для решения инженерных задач. Во многих случаях при решении практических задач гидрав
Энергетический смысл уравнения Бернулли
Рассмотрим частный случай установившегося движения жидкости, когда на неё действует лишь одна массовая сила – сила тяжести. Проекции единичных массовых сил на оси координат буд
Трубка Пито
В гидравлике уравнение Бернулли чаще всего используется в форме (3.18)
.
Все члены этого уравнения имеют линейную размерность - [м, см]. Подобно тому, как первый член этого уравне
Энергетический смысл уравнения Бернулли
Если рассматривать уравнение Бернулли как уравнение энергии, то каждое из слагаемых должно измеряться в единицах работы. Чтобы перевести уравнение (3.18) в уравнение работы надо умножить его на еди
Струйки вязкой жидкости
Вязкая жидкость при движении испытывает сопротивление, поэтому её удельная энергия не может сохраняться неизменной вдоль струйки. На преодоление трения расходуется часть энергии, которая превращает
Несжимаемой жидкости
Разобьём установившийся параллельноструйный поток на элементарные струйки и, выделив одну из них, определим её мощность в поперечноном сечении 1-1 потока (рис. 3.12).
При этом под мощность
Гидравлический и пьезометрический уклоны
Как известно, энергия в природе не может ни теряться, ни возникатьиз ничего. Говоря о потерях энергии в потоке, имеют в виду ту часть механической энергии, которая из-за вязкости жидкости превращае
Расходомер Вентури. Трубка Пито. Струйный насос
Расходомер Вентури.Рассмотрим применение уравнения Бернулли на примере расходомера Вентури, используемого для измерения расхода различных жидкостей.
Трубка Пито
Трубка ПИТО – простейший прибор, позволяющий измерять полное давление, представляет собой открытую трубку, направленную навстречу потоку.
ПИТО-ПРАНДТЛЯ трубка - прибор для измерения скорос
Основы гидродинамического подобия
В науке существуют два основных метода исследования: аналитический, основанный на законах механики и физики, и экспериментальный.
Ранее отмечалось, что ан
Режимы течения жидкости
Существуют два принципиально различных режима течения жидкости: ламинарный и турбулентный.
Исследованием механизма движения жидкости в различное время занимались мн
Критерий Рейнольдса и гидравлический радиус
Числовые значения коэффициента трения и коэффициента местного сопротивления зависят от режима течения и определяются в соответствии с законами гидродинамического подобия.
Для того чтобы по
Распределение скоростей при ламинарном течении
Рассмотрим установившийся ламинарный поток в горизонтальной цилиндрической трубе на достаточном удалении от входа в неё.
Труба выбирается горизонтальной с целью исключения действия силы тя
Расход при ламинарном режиме в круглой трубе.
Формула Пуазейля. Коэффициент Кориолиса a
При выводе теоретической формулы для определения расхода жидкости воспользуемся полученным законом распределения скоростей по
Потери на трение. Формула Дарси-Вейсбаха
Определим потери напора на трение при ламинарном течении жидкости в круглой трубе. Применим к двум сечениям 1-1 и 2-2 (рис.4.3) уравнение Бернулли:
.
Для нашего случая
-
И потери по длине
Приведённые выше закономерности справедливы лишь для изотермического движения, когда температура жидкости, а, следовательно, её вязкость и плотность во всех точках потока сохраняет одну и ту же вел
Начальный участок ламинарного потока
Формирование параболического профиля скоростей происходит не сразу, а постепенно, на протяжении так называемого начального участка потока, примыкающего к входному сечению трубы. Почти равномерное р
В каналах некруглой формы
Формула Дарси для потерь по длине в некруглых кана-приобретает следующий вид
. (4.24)
Коэффициент трения здесь подсчитывается по формуле
. (4.25)
Коэффициент это
Под действием умеренного перепада давлений
Эксплуатационные характеристики гидравлических агрегатов в немалой степени зависят от перетекания жидкости через зазоры.
Пусть под действием перепада давления через зазор высотой и глубино
Пульсация местной скорости в турбулентном потоке
Сложность кинематической структуры турбулентного потока затрудняет применение обычных методов математического анализа для его описания. Поэтому в отличие от раздела о ламинарном течении жидкости,
В турбулентном потоке
Интенсивное перемешивание жидкости в турбулентном потоке и обмен импульсами между ее частицами приводит к выравниванию местных скоростей в живом сечении тока. Поэтому распределение осредненных во в
Гидравлически гладкие и шероховатые трубы
Состояние стенок трубы в значительной мере влияет на поведение жидкости в турбулентном потоке. Так при ламинарном движении жидкость движется медленно и плавно, спокойно обтекая на своём пути незн
Потери по длине в гидравлически гладких трубах
Переход от ламинарного к турбулентному режиму течения вызывает увеличение потерь по длине. Это можно объяснить, во-первых, тем, что, перемещаясь от одного сечения потока к другому,
График Никурадзе
По вопросу о влиянии шероховатости на потери по длине долгое время господствовали самые неопределенные и противоречивые представления. Первое систематическое исследование этого вопроса относится к
Библиографический список
1. Кудинов В.А. Гидравлика: учеб. пособие / В.А. Кудинов, Э.М. Карташов. - 3-е изд., стереотип. - М.: Высш. шк., 2008. - 199 с.
2. Добровольский М.В. Жидкостные ракетные дв
Новости и инфо для студентов